Disertacijoje pagrindinis dėmesys skiriamas pagrindinių šiuolaikinės portfelio teorijos aspektų pristatymui, laikant naudingumo teoriją pagrindine, kaip teorine gautų rezultatų parama.
Šis dokumentas yra padalintas į penkias dalis. Pirmasis iš jų susijęs su pagrindinėmis investicinių portfelių sąvokomis, nesigilinant į matematinius aspektus. Be to, šių temų studija yra pagrindžiama pateikiant svarbius realaus gyvenimo rinkose aspektus. Antroje dalyje nagrinėjama naudingumo teorija, kurioje parodytas tikėtinas naudingumas kaip priemonė rinktis iš atsitiktinių alternatyvų. Trečioji dalis skirta rizikos, grąžos ir koreliacijos, kaip pagrindinių investicinio portfelio komponentų, analizei. Ketvirtoje dalyje tiriamas efektyvaus pasienio pobūdis per dviejų ir vieno fondo teoremas. Penktoje dalyje išvestas visos ekonomikos CAPM ir parodytas beta pritaikymas nustatant kapitalo kainą.
Norint paaiškinti kai kurias šio pristatymo sąvokas, buvo parengtas normalaus platinimo ir rinkos apibrėžimų priedėlis.
pagrindiniai šiuolaikinio portfelio teorijos aspektai1 ĮVADAS PAGRINDINĖS SĄVOKOS
Investicija
Investicijos reiškia išteklių naudojimą patenkantiesiems gaminti, kad ateityje būtų galima gauti pelno. Investuoti galima dviem būdais į šalies ekonomiką arba užsienį:
1. Tiesioginis. Tai atliekama materialiajame turte, tokiame kaip mašinos, ir nematerialiajame turte, tokiame kaip švietimas. Ši investicija paprastai yra ilgalaikė, atsižvelgiant į mažą likvidumą.
2. Netiesioginė ar portfelinė investicija. Nurodo finansinių priemonių, tokių kaip akcijos, pirkimą. Paprastai trumpalaikis, atsižvelgiant į tai, kad egzistuoja antrinės rinkos, užtikrinančios finansinio turto likvidumą.
Šiame pristatyme tai bus antroji investicijų rūšis, tačiau prieš pradedant investicinių portfelių tyrimą reikia suskirstyti investicijos apibrėžimo elementus:
o Lėšų gamintojai
o Nežinomas uždarbis
Investicijų patenkintojų gamyba
Išteklių neįmanoma panaudoti gaminant prekes ir (arba) teikiant paslaugas, kurios netenkina jokio poreikio, nes niekas nenori jų pirkti.
Savivaldybės, kuri išleidžia skolas už tilto statybą, atvejis rodo poreikį kurti gerovę gyventojams ir vežėjams, kuriems reikalingi geresni susisiekimo kanalai. Kita vertus, savivaldybių obligacijų turėtojai yra tie, kurie teikia finansinius išteklius.
Neaiškus pelnas
Investicijos nėra saugios, net ir tos, kurios daromos vyriausybės dokumentuose, nes joms kyla rinkos, kredito ir veiklos rizika. Investicijos rizika lemia jos siūlomą pelningumą, atsižvelgiant į alternatyvią kainą. Taigi, kuo didesnė rizika, tuo didesnis derlius.
Supratus investavimo koncepciją, kitas žingsnis yra išanalizuoti vienos investicijos tinkamumą kitai. Tiesioginių investicijų srityje yra investicinių projektų įvertinimo būdai, o investicijų portfelio srityje yra vertybinių popierių rinkos analizė, o šiuolaikinė portfelio teorija yra šios parodos tema.
Pirmasis investicijų portfelio apibrėžimas.
Tai yra mažiausiai dviejų finansinių priemonių rinkinys, į kurį ji buvo investuota vienu metu.
Finansinės priemonės, kuriomis galima sudaryti portfelį, yra įvairios ir gali būti pateikiamos iš šių rinkų:
• Pinigų
rinka • Kapitalo
rinka
• Išvestinių priemonių rinka
• Valiutų rinka • Prekių rinka
Portfelių pagrindimas yra diversifikavimo idėja, palengvinanti rizikos ir išlaikymo efektyvumo mažinimą.
Diversifikacija. Šis pavyzdys pateikia intuityvią idėją, ką reiškia įvairinti.
Užeiga
Limonadas siūlomas priešpiečiams nedidelėje užeigoje. Karštomis dienomis limonadai padidina pajamas, tačiau vėsiomis dienomis žmonės sumažina šaltų gėrimų vartojimą, todėl jaučiasi sumažėję pardavimai. Jei užeigos savininkas į savo valgiaraštį įtraukia kavos, tada, kai karštos dienos, galima pasiūlyti limonado, o šaltomis dienomis - galima pasiūlyti kavos, taip sumažinant nuostolių tikimybę.
Tokiu atveju produktų įvairinimas lemia limonado nuostolių atlyginimą parduodant kavą vėsiomis dienomis. Kai dienos bus karštos, kavos pardavimai sumažės, tačiau padidės limonadų pardavimas, todėl abiem atvejais sumažėja nuostolių galimybė.
Diversifikacija atsirado iš „bulseye“ teorijos, kurią 1920 m. Sukūrė Alfredas Cowlesas. Šios teorijos idėja rodo, kad norint suformuoti diversifikuotą portfelį, geriau pirkti iš visko, kas yra akcijų rinkoje. Cowlesas padarė išvadą, kad diversifikuotas portfelis vidutiniškai yra geresnis nei laikomasi geriausių akcijų brokerių investavimo strategijų dėl komisinių mokėjimų.
Vėliau Cowles'o idėja buvo patobulinta per Markowitz inicijuotą modernaus portfelio teoriją. Nepamiršdami klasikinės įvairinimo frazės „nedėkite visų kiaušinių į vieną krepšį“ dėl Tobino.
Diversifikacijos pagrindas yra priklausomybė tarp instrumentų, sudarančių portfelį. Tokie priklausomybės santykiai įvertinami koreliacija. Kuo mažesnė turto koreliacija, tuo įvairesnis portfelis bus.
Derlingumas ir rizika. Renkantis tarp dviejų portfelių, svarbiausi rodikliai yra rizika ir jų grąža.
Pajamingumas rodo portfelio vertės augimą. Reikia atskirti realų pasirodymą nuo numatomo. Pirmasis susijęs su portfelio našumu, kurį iš tikrųjų turėjo portfelis, o antrasis - būsimo portfelio našumo įvertinimas.
Rizika dažnai apibrėžiama kaip nuostolių galimybė ir gali būti susieta su mažėjančia rinka, tačiau net ir tokiu atveju įmanoma gauti pelną per trumpas pozicijas. Todėl šioms pastaboms rizika rodo grąžos, gautos su tikėtinu grąža, išsisklaidymą.
Grąža ir rizika turi skirtingus įvertinimo metodus, tokius kaip našumo vidurkis ir GARCH nepastovumo modeliai. Tačiau šiai medžiagai apskaičiuoti atitinkamai grąža ir rizika naudojama tik vidutinė grąža ir standartinis nuokrypis.
Investuotojų investicijos
Finansų rinkose yra įvairių tipų investuotojų, tačiau pirmoji klasifikacija apima dvi klases: individualią ir institucinę. Vis dėlto poreikį investuoti ir sąlygas, kuriose yra investuotojas, lemia investicijos.
Bankai
Ta pati finansų įstaiga gali turėti skirtingus portfelius, pagrįstus vyresniosios vadovybės politika. Taigi finansų įstaigoje galite rasti prekybos portfelį, sudarytą iš likvidžių priemonių, kad dažnai galėtų balansuoti (pakeisti portfelio sudėtį), ir pensijų fondą, sudarytą iš ilgesnės trukmės, mažesnio likvidumo priemonių, tačiau siūlančių galimybę išnaudoti tam tikrus reguliavimo arbitražus. Reguliavimo arbitražą (taikomą tik keliems bankams) sudaro investavimas į priemones, kurioms reguliavimo institucijos reikalauja mažesnio nei ekonominis kapitalas.
Draudimas
Draudimo įstaigos privalo investuoti rezervus, nes tai yra tie ištekliai, į kuriuos reaguojama į pretenzijas. Nacionalinės draudimo ir obligacijų komisijos aplinkraštis S-11.2 nustato investicijų, kuriose gali dalyvauti draudimo įmonė, ypatybes. Šiame aplinkraštyje nurodomos investavimo ribos, atsižvelgiant į turto tipą ir atsargų klasę, kaip parodyta 1 ir 2 lentelėse.
Dabartinė pensijų sistema Meksikoje. 1
lentelė. Reguliavimo institucijų investavimo į atsargas apribojimai.
Vertės rūšis Portfelio procentas
Vertybiniai popieriai, kuriuos išleido ar kuriems pritarė federalinė vyriausybė. Iki 100%
Vertybiniai popieriai, kuriuos išleido ar kuriems pritarė kredito įstaigos Iki 60%
Bet kuri kita nei minėta investicija Iki 30%
Šaltinis: Nacionalinė draudimo ir obligacijų komisija
2 lentelė. Likvidumo apribojimai atsargų investicijoms.
Rezervas Minimalus trumpalaikių investicijų procentas
OPC 100
IBNR 75 Einamoji
rizika 50
Matematika 30
Prognozavimas 30
Ypatinga nenumatytų atvejų situacija 30
Katastrofinė rizika 20
Šaltinis: Nacionalinė draudimo ir obligacijų komisija
Tai tik supaprastinti realybės finansų rinkose pavyzdžiai. Šioje medžiagoje pateikti modeliai yra tik ilgo mokymosi proceso, kurį turi sekti ketinantys įsitraukti į finansų rinkas, pradžia.
2 NAUDUMO TEORIJA
Sprendimas prieš neapibrėžtas alternatyvas modeliuojamas remiantis naudingumo teorija, kuri pateikiama ribotai, tačiau neatimant pagrindinių elementų, leidžiančių suprasti portfelio pasirinkimą. Tolesniuose punktuose parodytos naudingumo teorijos aksiomos, taip pat numatomo naudingumo, kaip įrankio pasirenkant prieš atsitiktines alternatyvas, išvedimas. Vėliau aptariamos stochastinio dominavimo, vengimo rizikuoti ir vidurkio-dispersijos kriterijai. 1 iliustracija rodo šio turinio bloko eigą.
1 pavyzdys. Teorinis investicijų portfelių pasirinkimo palaikymas.
Tikėtinos vertės kriterijus vertinant neapibrėžtas alternatyvas.
Iki 18-ojo amžiaus trisdešimties buvo manoma, kad žmonės, remdamiesi tikėtinos vertės kriterijumi, apsisprendė dėl neaiškių alternatyvų. Toliau pateikiamas minėto kriterijaus negaliojimas:
Tarkime, kad asmuo turi šias alternatyvas:
1. Loterijos bilietas, kuriame laimėta 2000 valiutų vienetų (CU) su 5% tikimybe ir prarandama CU2 su 95% tikimybe. Šis statymas vaizduojamas taip:
⎧2000 0,05
G = ⎨ E = 2000 * 0,05 + (- 2) * 0,95 = 98,1
⎩− 2 0,95
2. 100 HV investicija į banko sąskaitą, kurioje saugiai mokamos 1% palūkanos.
E = 101
3. Žaidimas M, kurį sudaro sąžiningas monetų išmetimas, kuris sustoja pirmą kartą pasirodžius priekyje ir tokiu atveju moka 2 valiutos vienetus, kur r yra išmetimų skaičius, kol žaidimas sustos. R-ojo metimo tikimybės vertė yra 2-r, todėl šio žaidimo viltis yra
E
r = 1
Pagal numatomos vertės kriterijų trečioji alternatyva yra teisingas pasirinkimas. Tačiau turint begalinį tikėtiną prizą, dalyvavimo tokiame žaidime kaina taip pat yra begalinė, todėl niekas nenorėtų jame dalyvauti. M žaidimas geriau žinomas kaip Sankt Peterburgo paradoksas.
Šio kriterijaus neatitikimas išspręstas atsižvelgiant į numatomo naudingumo idėją, kuri tolesniuose punktuose yra sukonstruota iš aksiomų.
Naudingumo teorijos aksiomos
Prieš pateikdami nagrinėjamos teorijos aksiomas, būtina suprasti loterijos idėją. Loterija yra žaidimas, kuriame gaunami skirtingi tarpusavyje nesuderinami prizai su susijusiais koeficientais ir jie apibūdinami taip:
⎧x1 p1
G (x1, x2,.., xn: p1, p2,.., pn) = ⎪⎪⎨x2 p2
⎪
nxn pn
kur prizas xi turi pi tikimybę. Šią paprastą loterijos išraišką galima sutrumpinti suskirstant prizus ir tikimybes į vektorius x = (x1, x2,…, xn) ir p = (p1, p2,…, pn), taigi G (x: p) yra paprastesnis žymėjimas.
Taip pat yra sudėtinių loterijų, tokių kaip
⎧ G1 (x: q) p
G (G1, G2: p) = ⎨, kuriose kiekvienas prizas yra loterija.
⎩G2 (y: r) 1− p
Pavyzdžiai. Tegul dvi paprastos loterijos yra G1 (x: q), G2 (x: r) ir tegul G (G1, G2: p) yra sudėtinė loterija. Loterijos yra tokios, kad x = (2,4,6) q = (0,5,0,3,0,2) ir = (6,8) r = (0,6,0,4).
⎧2 0,5
G1 (2,4,6: 0,5,0,3,0,2) = ⎪⎨4 0,3 G 2 (6,8: 0,6,0,4) = ⎧⎨6 0,6 G = ⎨⎧G1 0,5
⎪⎩6 0,2 ⎩8 0,4 ⎩G2 0,5
G loterija gali būti sumažinta iki paprastos loterijos, jei ji suprantama kaip linijinis loterijų derinys. Tai yra, G = 0,5G1 + 0,5G2, taigi ji turi tokią paprastą formą:
⎧2 p = 0,25
⎪4 p = 0,15
G = ⎪⎨
⎪6 p = 0,40
⎪⎩8 p = 0,20
Atminkite, kad laimėjimo vertė 6 yra siūloma G1 ir G2 loterijose, todėl tikimybė, kad tai bus 0,5 (0,2) +0,5 (0,6). Kitų prizų koeficientai apskaičiuojami analogiškai.
Aksiomos
Dabar, kai buvo įvaldyta loterijos idėja, galima pateikti penkias naudingumo teorijos aksiomas.
Tegul Γ yra asmens loterijų rinkinys ir tegul apribotas rinkinys X yra galimų visų neigiamų loterijų neigiamų padarinių rinkinys.
Aksioma 1. Išsamumas. Visiems x, y ∈ X agentas gali padaryti vieną iš šių situacijų:
• teikia pirmenybę kirviui, palyginti su y, pažymėtu y x
; • teikia pirmenybę ay, palyginti su x, žymimu x y,
• yra abejingas tarp dviejų (y ≈ x)
Aksioma. 2. Pereinamumas Tai įvyksta tokiose x, y, z ∈ X situacijose:
• x y ∧ y z ⇒ x z
• x y ∧ y ≈ z ⇒ x ≈ z
Aksioma 3. Stipri nepriklausomybė. Tegul x, y, z ∈ X ir G1, G2 ∈Γ. Ši aksioma rodo, kad:
x ≈ y ⇒ G1 (x, z: p) ≈ G2 (y, z: p).
Aksioma 4. Išmatuojamumas. Tegul x, y, z ∈ X ir G∈Γ. Aksioma tai rodo
x yz∨ xy z ⇒∃! p toks, kad y ≈ G (x, z: p).
Aksioma 5. Baigimas. Tegul keturi rezultatai yra x, y, u, z ∈ X
Darant prielaidą, kad (xyz) ∧ (xuz) 4 aksioma rodo, kad yra loterijų G1, G2 ∈Γ tokių, kad y ≈ G1 (x, z: p) ju ≈ G1 (x, z: q).
Ši aksioma parodo: Jei q ≤ p ⇒ uy.
Laukiamo naudingumo teorija
Laukiamos naudingumo teorijai sukurti reikalingos dar dvi prielaidos:
1. Asmenys visada renkasi didesnį turtą
2. Asmeniui palankūs nukrypimai nuo vidutinio turto negali kompensuoti nepalankių nukrypimų nuo vidutinio turto.
1 prielaida parodo asmenų, kurie visada nori didesnės gerovės, loginę būklę. 2 prielaida parodo, kad yra baimė rizikuoti, nes, nesvarbu, koks didelis prizas, didelio nuostolio galimybė apsaugo asmenis nuo neaiškių įvykių. Atsižvelgiant į šias prielaidas ir penkias parašytas aksiomas, teorijos plėtra yra perspektyvi.
Naudingumo funkcija.
Tai yra skaliarinė funkcija, apibrėžta rezultatų rinkinyje X, kad ji parodytų pirmenybės laipsnį skirtingiems rezultatams, kurie iš tikrųjų atspindi turto lygius. Matematiškai naudingumo funkcija yra tokia:
U: X → ℜ
x → U (x)
Funkcinė reikšmė U (x) neturi reikšmės, nes svarbiausia yra išlaikyti tvarką (X, ) realiųjų skaičių tvarka, todėl didėja tokių transformacijų, kaip galia ar susijusios transformacijos, V (x) = aU (x) + b, kai> 0. Norėdami parodyti tokią situaciją, apsvarstykite tris alternatyvas: kriaušes, obuolius ir apelsinus. Be to, yra asmuo, turintis šias lengvatas vaisiams:
Obuolių apelsinų kriaušės
Asmens naudingoji funkcija yra
U (obuolys) = 12
U (oranžinis) = 16 U (kriaušė) = 20
Atminkite, kad dabar turime realius skaičius, kuriuos galima palyginti, ir tai akivaizdu
U (obuolys) <U (oranžinis) <U (kriaušė) = 20
Vertės, kurių imasi naudingumo funkcija, neturi reikšmės, nes svarbu yra tai, kad jos išsaugotų pirmenybių tvarką realiųjų skaičių tvarka. Tokiu būdu afininė transformacija 2 * U (x) +3 yra lygi funkcijai U (x), nes ji išlaiko pradinę tvarką.
Teorema. Visiems x, y ∈ X naudingumo funkcija turi paisyti šių nuostatų:
U (x)> U (y) ⇒ x y
U (x)
Demonstracija
Kadangi X yra apribota aibė, elementas xI = inf (X) vadinamas pragaru x ir yra blogiausias rezultatas; didžiausias xP = sup (X) yra žinomas kaip rojus x ir yra geriausias rezultatas.
Visiems x, y ∈ X turime xP xxI ∨ xP x xI ir xP yxI ∨ xP y xI
Remiantis 4 aksioma, yra atitikmenys
x≈G1 (xI, xP: p (x)) ir y≈G2 (xI, xP: q (y)).
Jei U (x) = p (x) ir U (y) = q (y), tada pagal 5 aksiomą turime:
o U (x)> U (y) ⇒ x ir U (x)
Tikėtino naudingumo teorema. Naudingumo funkcija naudojama norint palyginti atsitiktines alternatyvas per numatomą naudingumą.
Demonstracija
Tegul x, y, z ∈ X. Remiantis ankstesniais atitikmenimis x≈G1 (xI, xP: p (x)) ir y≈G2 (xI, xP: q (y)), sudėtinė loterija sudaroma taip, kad z≈G (G1, G2: r) kaip rodo.
⎧ ⎧ xP p (x)
⎪ x ≈⎨ r (z) z ≈⎪⎨ I xI 1- p (x)
⎪ ≈⎧⎨ xP q (y) 1- r (z)
⎪⎩ ⎪⎩ xI 1- q (ir)
Tada z≈G (xP, xI: r (z) p (x) + (1-r (z)) q (x)) ir atsimenama, kad U (x) = p (x) ir
U (y) = q (y), taigi U (z) = r (z) U (x) + (1-r (z)) U (y), suprantamas kaip
numatomas pelnas.
Apskritai numatomas būsimojo turto naudingumas yra E = ∑U (xi) pi.
Sankt Peterburgo paradokso sprendimas
Laukiama naudingumo teorema išsprendžia Peterburgo paradoksą, surasdama baigtinę vertę.
E
r = 1
Naudingumo funkcijos ypatybės
Individualių asmenų teikiama pirmenybė didesniam turtui remiantis 1 prielaida reiškia didesnę naudingumo funkciją. Ši sąlyga yra lygiavertė tam, kad naudingumo funkcijos darinys, žinomas kaip ribinis naudingumas, yra teigiamas U (x) /> 0.
2 prielaida reiškia, kad asmuo vengia rizikos, todėl mažėja ribinis naudingumas, tai yra U (x) // <0, ir ši sąlyga yra lygi įgaubtai naudingumo funkcijai.
Pavyzdžiai. Naudingumo funkcija U (x) = x didėja ir įgaubiama, nes U / (x) = 1> 0 ir U // (x) = - 1 x− <0.
2 x 4
2 iliustracija Šaknies naudingumo funkcijos su mažėjančia išvestine charakteristikos.
Tačiau kvadratinė naudingumo funkcija U (x) = ax2 + bx + c gali būti įgaubta ir didėti priklausomai nuo parametrų a, b ir c.
Darant prielaidą, kad funkcija didėja, reikia manyti, kad gerėjant gerovės lygiui, pasiekiamas posūkio taškas, kuriame pirmasis išvestinis keičiasi taip, kad naudingumo funkcija didėja ir įgaubiama tik intervalu
⎡. ⎢⎣0, - 2ba⎤⎥⎦, tuo tarpu, kai vertės yra didesnės nei - 2ba, individas nori
vis mažiau turtų.
Naudingumo funkcijos yra matematinis sprendimų priėmimo įrankis, atsižvelgiant į atsitiktines alternatyvas, tokias kaip portfelio atsargų grąža. Šiame dokumente nagrinėjama tema racionalus investuotojas visada pasirenka portfelį, kurio pelnas yra didžiausias.
Pajamos ir grąža paskirstomos kaip įprasta.
Iki to laiko naudingumo funkcijos idėja buvo pateikta kaip asmens pasirinkimų vaizdavimas. Buvo manoma, kad tokia funkcija padidina U (x) /> 0 ir įgaubtą U (x) // <0.
Be to, buvo pateikti naudingumo funkcijų, tokių kaip šakninės ir kvadratinės funkcijos, pavyzdžiai, tačiau portfelio pasirinkimas neturėtų apsiriboti naudingųjų funkcijų grupe, todėl būtina ši prielaida:
Kursas. Naudingumo funkciją galima suderinti pagal Taylor polinomą.
Jei x0 yra taškas naudingumo funkcijos U (x) srityje, tada
UU k (x0) (x - x0) k
k = 0 k!
Tegul w yra atsitiktinis kintamasis su viltimi µ <∞ ir dispersija σ2 <∞ toks, kad jis parodytų būsimą investicijos naudą.
U k (µ) k
Jei atlikta U (w −µ), tada naudingumui nustatyti
k = 0 k!
laukiamas E = ∑k∞ = 0 U kk (! µ) E
turi būti žinomi visi atsitiktinio kintamojo w centriniai momentai. Šios situacijos išvengiama, kai naudingumo funkcija yra kvadratinė, nes didesnės ar lygios trims eilės išvestinės panaikina. Deja, šios funkcijos negalima priskirti visiems investuotojams, todėl geriau manyti, kad w ~ N (µ, σ), nes visi šio atsitiktinio kintamojo momentai gaunami iš pirmųjų dviejų, kaip parodyta priede..
Remiantis w normalumo prielaida, nereikia jokių papildomų prielaidų apie naudingumo funkciją, reikalaujant tik ją suderinti pagal Taylor polinomą, taip pat kad ji būtų įgaubta ir didėjanti.
Rizikos vengimas
Naudingumo funkcijos įbrėžimas yra investuotojo vengimo rizikuoti simptomas, tačiau daugiau informacijos apie rizikos, kurią investuotojas nori toleruoti, dydį galite gauti pasinaudodami šiomis priemonėmis:
• Arrow-Pratt koeficientas A (x)
• Vengimas santykinės rizikos R (x)
Anksčiau išvedus tokias priemones, turi būti žinoma tikrojo atitikmens sąvoka.
Lygiavertė tiesa.
Tikrasis neapibrėžto turto lygio atitikmuo yra tam tikra suma, kad antrosios naudingumas yra lygus tikėtinam pirmojo naudingumui.
Matematiškai C vertė yra tikroji turto lygio x atitiktis, kai U (C) = E arba C = U −1 (E).
Norėdami parodyti, apsvarstykite investuotoją, turintį naudingumo funkciją
U (x) = −e – x, dabartinį turtą 10 ir naują turtą x = 10 + G taip, kad
⎧ 1
G = ⎪⎨− 5, kai p = 12
⎪ 5 su p =
⎩ 2
Tada E¨ = - 1 = −0,003369, taigi tikrasis ekvivalentas 2
yra C = -ln (- (- 0,003369)) = 5,6931 ir U (C) = 0,003369.
Todėl investuotojas nėra abejingas tarp 5,69 tam tikrų piniginių vienetų ir naujo turto lygio. Skirtumas tarp dabartinio gerovės lygio ir tikrojo ekvivalento 10-5,6931 = 4,3069 suprantamas kaip draudimo įmoka, kurią investuotojas mokėtų už tai, kad nesinaudotų „G“ loterija.
Šis skirtumas reiškia absoliučią vengimą rizikuoti ir jo raida yra tokia:
Arrow-Pratt absoliučios rizikos vengimo koeficientas.
Apsvarstykite investuotoją, kurio naudingumo funkcija U (x) yra tokia, kad x yra pradinis turto lygis ir galutinis turto lygis x + ε, kur ε yra atsitiktinis kintamasis su σε2 dispersija, kuris žymi sąžiningą žaidimą, taigi E = 0.
Remiantis šiais duomenimis, norima apskaičiuoti priemoką Π, kurią sumokėtų investuotojas, kad nepatirtų galutinio turto lygio neapibrėžtumo.
Tegul C yra tikrasis x + ε ekvivalentas, tai yra, U (C) = E. Norint rasti pirminės Π analitinę išraišką, sudaroma antrosios eilės Tayloro aproksimacija, esanti U lygiu x (x + ε).
U (x + ε) = U (x) + U / (x) (x + ε− x) + U // (x) (x + ε− x) 2
Pažvelkite į šio apytikslio viltį prisimindami, kad x yra duota reikšmė
E = U (x) + U / (x) E + U // (x) E = U (x) + U // (x) σε2
Jei prisimename, kad priemoka yra skirtumas tarp dabartinio turto lygio ir tikrojo atitikmens, mes turime tokią išraišką:
Π = x −C ⇒ C = x −Π⇒U (C) = U (x −Π)
Atlikdami pirmosios eilės Taylor apytikslę ties x, gausite:
U (x −Π) = U (x) + U / (x) (x −Π - x)
Kadangi C yra tikrasis ekvivalentas, tada U (x −Π) = E, kad išlyginę aproksimacijas, mes turime:
/// 2/1 2 //
U (x) + U (x) (- Π) = U (x) + U (x) σε ⇒ - ΠU (x) = σεU (x) ⇒
2
//
1 2 U (x) Π = - σε /
2 U (x)
Šis pradinis Π yra žinomas kaip Arrow-Pratt
pradmuo ir kadangi 1σε2 yra pastovus, nustatomas poslinkio koeficientas esant 2
U // (x) Arrow-Pratt rizika A (x) = - /.
U (x)
Norint išanalizuoti asmens riziką rizikuoti, imamasi koeficiento išvesties. Jei išvestinė priemonė yra teigiama, tada asmuo nori skirti daugiau išteklių rizikingoms investicijoms. Kai išvestinė priemonė yra neigiama, tada vengiama rizikos, o tai reiškia, kad vis mažiau išteklių bus skiriama rizikingoms investicijoms, o jei išvestinė finansinė priemonė yra nulinė, rizikingose investicijose išlaikomas toks pat skaičius piniginių vienetų.
Rizikos vengimo koeficientas
Vengimas rizikuoti rodo turto procentą, kuris bus paaukotas už nedalyvavimą loterijoje.
Kaip ir ankstesniu atveju, teigiamas darinys rodo, kad asmuo padidina turto, skirto rizikingoms investicijoms, procentą. Jei išvestinė priemonė yra neigiama, tada vengiama rizikos, rizikingoms investicijoms bus skiriama mažesnė turto procentinė dalis, o jei išvestinė finansinė priemonė yra nulinė, rizikingoms investicijoms išlaikomas toks pats piniginių vienetų procentas. Analogiškai Arrow-Pratt koeficientui,
gaunamas xU // (x) koeficientas: vengimas rizikuoti R (x) = - /.
U (x)
Pavyzdys: Išanalizuokite asmenį naudingumo funkcija U (x) = x. Koeficientams apibrėžti reikalingi pirmieji du išvestiniai turto atžvilgiu.
U / (x) = 1> 0 ir U // (x) = - 1 x− <0. A (x) = −U // (x) = 1 ⇒ A / (x) = - 12 <0
2 x 4 U (x) 2x 2x xU // (x) 1 /
R (x) = - = ⇒ R (x) = 0 U (x) 2
Pastebėta, kad absoliutaus rizikos vengimo koeficiento išvestinė yra neigiama, todėl asmuo investuos daugiau išteklių į rizikingą turtą. Santykinis vengimas rizikuoti yra pastovus, todėl asmuo visada investuos tą patį procentą į rizikingą turtą. 3 paveiksle parodytas abiejų koeficientų elgesys.
RIZIKOS VENGIMAS
3 pav. Kvadratinės šaknies naudingumo funkcijos rizikos vengimo koeficientai.
Stochastinis dominavimas
Jei tikslas yra pasirinkti tarp skirtingų portfelių, remiantis rizikos ir veiklos rodikliais, norint nustatyti sprendimo kriterijus, reikia apibrėžti stochastinę dominavimą. Šioje dalyje A ir B yra du skirtingi ištekliai, RA ir RB yra grąža ir atitinkamai turi paskirstymo funkcijas FRA (x) ir FRB (x).
Pirmos eilės stochastinis dominavimas. Turtas A dominuoja turtu B šia prasme, kai FRA (x) ≤ FRB (x).
Norint suprasti šį apibrėžimą, reikia atlikti keletą matematinių operacijų, kaip parodyta:
FRA (x) ≤ FRB (x) ⇔ −FRB (x) ≤ −FRA (x) ⇔1− FRB (x) ≤1− FRA (x) ⇔ P {RA ≥ x} ≥ P {RB ≥ x}
Kitaip tariant, tikimybė gauti didesnę grąžą iš turto A yra didesnė nei iš turto B.
Antros eilės stochastinis dominavimas. Turtas A
šioje kryptyje dominuoja turtui B, kai FRB (x) dx.
Šis apibrėžimas reiškia investuotojo vengimą rizikuoti ir reiškia, kad pirmenybė bus teikiama turtui A, nes kairiojoje uodegoje jis sukaupia mažesnę tikimybę, o tai yra mažiausiai nepalanki, neatsižvelgiant į geresnės grąžos atsisakymą.
Norėdami išaiškinti šias stochastinio dominavimo idėjas, žemiau pateikiami trijų normalių atsitiktinių kintamųjų su skirtingais parametrais pasiskirstymai.
Normalusis pasiskirstymas Vidutinis Standartinis nuokrypis
F1 0,1 0,17
F2 0,2 0,17
F3 0,21 0,3 3
lentelė. Normalusis pasiskirstymas ir stochastinis dominavimas.
4 iliustracija. Stochastinis dominavimas.
4 paveiksle parodyta, kad F2 dominuoja F1 pirmąja tvarka, o F3 dominuoja F2 antra tvarka, nes kairiojoje uodegoje jis sukaupia mažesnę tikimybę, nepaisant mažesnio vidurkio nei F3, ir tai rodo vengimą rizikuoti.
Stochastinis dominavimas ir naudingumo funkcija.
Pirmos eilės stochastinis dominavimas su tikėtinu naudingumu. Manoma, kad A turtas šiuo atžvilgiu dominuoja turtu B, kai
E ≥ E ir U /> 0.
Antros eilės stochastinis dominavimas su tikėtinu naudingumu. Turtas A dominuoja turtu B šia prasme, kai E ≥ E ir U // <0.
Stochastinis dominavimas su tikėtinu naudingumu. Jei laikysime, kad
U /> 0 ir U // <0, turtas A dominuoja turte B, kai E ≥ E.
Pastarasis stochastinio dominavimo apibrėžimas ir grąžos prielaida normaliu pasiskirstymu lemia dominavimo kriterijus, žinomus kaip vidutinė dispersija.
Stochastinio dominavimo vidurkis ir dispersijos kriterijai.
Tegul RA ~ N (µA, σA), RB ~ N (µB, σB), Y ~ N (µ, σ) su U /> 0 ir U // <0 ir tegul y0 yra pradinis turto lygis. Tada galioja šie dominavimo kriterijai.
Pirmos eilės stochastinis dominavimas. Turtas A dominuoja turte B, kai µA ≥ µB ir σA = σB.
Demonstracija.
Y = σZ + µ su Z ~ N (0,1)
Ateities turto lygis yra y0 (1 + σZ + µ) su numatomu pelnu
E.
Išanalizavus šio lūkesčio dalinį išvestį su vietos parametru µ, pastebima, kad jis yra teigiamas, todėl tikėtinas naudingumas didėja atsižvelgiant į normalios grąžos vidurkį ir išlaikomas naujas pirmosios eilės stochastinio dominavimo apibrėžimas.
e
Edz
2π
∂E / e dz> 0 nuo U /> 0.
2π
Turėdami tokį rezultatą turime šią taisyklę:
Atsižvelgiant į rizikos lygį, pasirinkite turtą ar portfelį, kurio grąža yra didžiausia.
Antros eilės stochastinis dominavimas. Turtas A dominuoja turte B, kai σA ≤σB ir µA = µB. Šio teiginio įrodymas seka tą pačią tendenciją kaip ir ankstesnė, tačiau naudojamas naudingumo funkcijos įtempis. Demonstracija.
∂E e
= ∫U (y (1 + σz + µ)) zy dz + ∫U (y (1 + σz + µ)) zy dz
∂σ −∞ 0 0 2π 0 0 0 2π
∞ / e ∞ / e
dzdz 2π2π
Kadangi U // <0 ir U yra didėjanti funkcija, turime prielaidą, kad tikėtino naudingumo dalinis išvestinis standartinio nuokrypio atžvilgiu yra neigiamas, todėl mažesnis nepastovumas mažesniu mastu
turi įtakos naudingumui.
Tada vengimas rizikuoti U // <0 reiškia šią taisyklę:
Atsižvelgiant į našumo lygį, rinkitės mažiausios rizikos turtą.
Norėdami parodyti šias idėjas, turime šį turto, kuris nustatomas atsižvelgiant į riziką ir veiklos rezultatus, sąrašą.
TURTINIS YIELDO RIZIKA
A 30% 17%
B 30% 53%
C 30% 19%
D 15% 12%
E -2% 12%
F 18% 12% 4
lentelė. Stochastinio dominavimo pavyzdžiai.
Pirmos eilės stochastinis dominavimas.
Norint taikyti šį kriterijų, reikia nustatyti rizikos lygį. Turto D, E ir F rizikos lygis yra 12%, todėl jie yra išdėstyti žemiau.
TURTAS RIZIKOS VEIKLOS
F 18% 12%
D 15% 12%
E -2% 12% 5
lentelė. Pirmos eilės stochastinis dominavimas.
Šiuo atžvilgiu F turtas dominuoja D ir E turtuose.
Antros eilės stochastinis dominavimas.
TURTAS YIELDIS RIZIKA
A 30% 17%
C 30% 19%
B 30% 53%
6 lentelė. Antros eilės stochastinis dominavimas.
Tokiu atveju A turtas dominuoja C ir B turtuose, nes jų kintamumas yra mažesnis, atsižvelgiant į grąžos lygį. II paveiksle yra šeši turtai. Šiuo metu kyla klausimas, koks turtas A ir F yra labiau pageidaujamas. Norint atsakyti į šį klausimą, reikalingas numatomas pelnas. Jei laukiamas A turto pelnas yra didesnis nei numatomas turto F pelnas, tada pasirinktas turtas yra A. Jei ne, pasirinkite F.
5 iliustracija. Stochastinis dominavimas su vidurkiu ir standartiniu nuokrypiu.
3 VEIKIMAS, RIZIKA IR KORELIACIJA
Spektaklis. Kaip pagrįsta, turto grąža paskirstoma įprastu būdu, todėl dabar laikas jas nustatyti remiantis akcijų kainomis, darant prielaidą, kad dividendai nebus išmokėti.
Tegul „St“ yra turto kaina t dieną. Taigi turto grąža
tą dieną yra Rt = ln⎛⎜⎜⎝ SSt - t1 ⎞⎟⎟⎠.
Atlikdami pirmojo užsakymo „Taylor“ apytikslę apytikslę ankstesnę kainą, gauname kitą išeigos apibrėžimą, kuris atsižvelgia į procentinį pokytį.
ln⎜⎜⎛⎝ SSt - t1 ⎞⎟⎟⎠ ⎛⎜⎝⎜ ln⎛⎜⎝⎜ SStt −− 11 ⎟⎞⎟⎠ + S1t - 1 SStt −− 11 (St - St - 1) ⇒ Rt ≈ St S - t - S1t −1
Tačiau teoriniu požiūriu šio suderinimo naudojimas lemia teigiamą neigiamų kainų tikimybę, nes Rt paprastai pasiskirsto, kai
St - St - 1 1⇔ St - St - 1 <−St - 1 ⇔ St <0 pradedant nuo St-1> 0.
Rt → −∞ ⇒ <-
St-1
Naudojant logaritminius grąžinimus, ši teorinė detalė išsaugoma, nes kai ln⎛⎜⎜⎝ SSt - t1 ⎞⎟⎟⎠ → −∞ ⇒ SSt - t1 → 0 ⇒ St → 0 ⇒ St> 0, todėl niekada nebūna
neigiamų kainų, nes jos yra mažesnės už nulį.
Kitas logaritminių grąžų pranašumas yra tas, kad jas galima pridėti palengvinant metinės vidutinės grąžos pateikimą. N laikotarpių išeiga nurodoma
ln⎜⎜⎝⎛ SSt - tn ⎞⎟⎟⎠ = ln⎛⎜⎜⎝ SSt - t1 SStt −− 12 SSt - t - nn + 1 ⎟⎞⎟⎠ = ∑kn = - 10 Rt - k
Paprastai manoma, kad metai turi 250 dienų akcijų rinkai, taigi, įvertinus vidutinę dienos grąžą E, ji paprasčiausiai padauginama iš šio dienų skaičiaus, norint gauti metinę vidutinę grąžą.
Remiantis parametrine statistika nustatyta, kad didžiausias vidutinio derlingumo įvertis
T
∑R i , kuris
T
dydžio T pavyzdžiui yra µ sample = i = 1.
Aišku, kad turto savybės negali būti mažesnės kaip –1 ir kad jis neturi aukštesnio lygio, tačiau normalumo prielaida vis dar yra perspektyvi, nes turtui sunku per daug pasikeisti per trumpą laiką.
Standartinis nuokrypis
Standartinis nuokrypis rodo pasiskirstymą po vidutinę stebimų sumų grąžą ir yra rizikos, kurią kelia investicija į turtą, įvertis. Didžiausias tikėtinas
standartinio nuokrypio įverčio koeficientas yra, tačiau toliau
naudojamas vertintojas yra nešališkas.
Yra daugybė standartinio nuokrypio įvertinimo metodų. Tarp jų yra GARCH modeliai, kurie suvokia sąlyginio dispersijos pokyčius bėgant laikui, tačiau besąlyginis dispersija išlieka pastovi. Kitaip tariant, stochastinis procesas, po kurio seka veiksmai, nėra stacionarus vietoje, tačiau yra besimptomis.
Norint apskaičiuoti kintamumą, reikia atsižvelgti į kvadratinės šaknies taisyklę ir paaiškinti šią idėją, tarkime, kad yra T turto stebėjimo stebėjimų, kurie laikomi nepriklausomais dėl veiksmingos rinkos prielaidos.
Jei R1, R2,…, RT yra nepriklausomi stebėjimai, kurių dispersija σ2, tada šių kintamųjų suvestinė yra
T dienų T laikotarpio išeiga, taigi ∑Rt dispersija yra
t = 1 dispersijų suma. grąžinimo individualiai suteikta nepriklausomybė.
Var⎛⎜∑T Rt ⎞⎟ = ∑T Var (Rt) = Tσ2 ⇒ det.est⎜⎛∑T Rt ⎞⎟ = Tσ
⎝ t = 1 ⎠ t = 1 ⎝ t = 1 ⎠
Tai yra, laikotarpio T nepastovumas yra to laikotarpio kvadratinė šaknis iš dienos nepastovumo. Kad būtų galima apskaičiuoti dienos kintamumą, jį reikia padauginti iš 250, ty dienų, kai rinka veikia, šaknis.
Trumpas išpardavimas
Verslininkams įprasta pirkti žemą ir parduoti didelę kainą ir tai būtina įmonės gyvybingumui. Portfelio investuotojui, be šios taisyklės, galima įvykdyti šiuos dalykus: parduoti aukštai, o nusipirkti mažai - tai atsiranda dėl trumpalaikio pardavimo galimybės.
Norint geriau paaiškinti šią sąvoką, reikia suprasti ilgosios ir trumposios pozicijos reikšmes.
Ilga pozicija. Ilgalaikė turto pozicija laikoma, kai lažinamės dėl jo kainos padidėjimo. Kitaip tariant, turto vertės padidėjimas yra naudingas savininkui. Šia prasme savininkas perka pigiai tikėdamasis parduoti brangiai.
Kaip pavyzdį turite ilgą poziciją ateityje. Jei pristatymo dieną pagrindinės priemonės grynųjų pinigų kaina yra didesnė už pristatymo kainą, pirkėjas uždirbs pelną dėl padidėjusios pagrindinės priemonės kainos.
Trumpa pozicija. Trumpa pozicija reiškia galimybę užsidirbti mažėjančioje rinkoje. Kitaip tariant, trumposios pozicijos savininkas gauna naudą, jei turto kaina krinta, o pavyzdys yra ateities pardavimas.
Trumpas išpardavimas. Ypatingas trumpų pozicijų atvejis yra skolintų vertybinių popierių pardavimas. Ši idėja gali būti paaiškinta atlikus šiuos veiksmus:
• Paskolinkite turtą pažadėdami jį pristatyti po tam tikro laikotarpio T.
• Gavimo metu turtas parduodamas už S0 sumą.
• Pasibaigus terminui, turtas turi būti nupirktas už standartinę kainą ir pristatytas pradiniam savininkui.
Kaip vertinama, skolintų vertybinių popierių pardavimas reiškia turto, kuris nepriklauso, pardavimą. Ši operacija duoda pelno, kai turto kaina sumažėja. Kitaip tariant, jis bus laimėtas, kai S0> ST, o realizuotas pelnas bus S0 - ST.
Trumpas pardavimas susijęs su didele rizika, nes pelnas yra ribotas, nes kaina gali sumažėti tik iki nulio, o nuostoliai gali būti neriboti, kai kaina linkusi į begalybę.
Atminkite, kad šios operacijos grynųjų pinigų srautai visada yra neigiami, nes pradžioje jie yra –0, o pabaigoje –ST. Įdomu, kad grąžos norma yra neigiama, kai turite pelno, nes tokiu atveju
T ST - S0 0, bet kadangi pradinė investicija yra –S0, turite
S0> S ⇒ <
S0
teigiamą pelną - S0 ST - S0 = S0 - ST> 0.
S0
reikia pažymėti, kad praktikoje trumpi pardavimai reikalauja garantijų, įsigyta didelė rizika jiems atstovauti. Be to, jei tą laikotarpį, per kurį imamasi veiksmų dėl paskolos, yra išmokėti dividendai, jie turi būti išmokėti savininkui. 5 paveiksle parodytas trumpalaikio pardavimo apmokėjimas.
Trumpas pardavimo pavyzdys.
Tarkime, kad ekonominis agentas turi 1 000 emitento A akcijų, kurios šiuo metu prekiauja 25 valiutų vienetais. Skolintų vertybinių popierių pardavimas yra toks:
• Investuotojas prašo šių akcijų iš agento pažadėdamas jas atiduoti per septynias dienas.
• Investuotojas parduoda tas akcijas dabartine 25 kaina, gaudamas 25 000 piniginių vienetų, kurie gali arba negali investuoti į kitas priemones, kurių būtų ilgai.
• Po septynių dienų investuotojas perka 1000 A emitento akcijų už 24 CU kainą ir grąžina jas agentui, gaudamas 1 000 CU pelną.
4 INVESTICIJŲ PORTFELIS
Iš ilgųjų ir trumpųjų pozicijų apibrėžimų galima išryškinti naują portfelio apibrėžimą:
Piniginė. Tai yra finansinių priemonių rinkinys, kuriame jūs turite savo poziciją.
Nuo šiol galioja šios prielaidos:
1. Stotelių skaičius yra ribotas.
2. Bendras emitentų akcijų skaičius yra pastovus.
3. Nėra susijungimų ar bankrotų.
4. Derybos yra tęstinės.
5. Nėra jokių operacijų išlaidų, mokesčių ar akcijų dalijimo klausimų.
6. Dividendai nėra mokami.
Iš pradžių atsižvelkite į N instrumentus S1, S2,…, SN, kurių grąža yra
R1, R2,…, RN. Tegul wi yra
procentinė dalis, tenkanti vienetui, kuri priskiriama turtui Si, todėl akivaizdu, kad ∑wi = 1.
i = 1
Rasti optimalų portfelio pasirinkimą reiškia rasti tokį svorių arba svorių derinį, kad jie sumažintų riziką, atsižvelgiant į grąžos lygį. Norėdami tai padaryti, pirmiausia turite nustatyti portfelio našumą ir riziką. Wi vertė taip pat žinoma kaip turto svoris arba svoris Si.
Portfelio pajamingumas. Portfelio grąža, žymima RP, yra turto grąžos svertinis vidurkis.
RP = w1R1 + w2 R2 +… + wN RN
Laukiama portfelio grąža yra numatomos turto grąžos svertinis vidurkis.
E = w1E + w2 E +… + wN E
Portfelio rizika. Rizika apskaičiuojama pagal standartinį nuokrypį, kuris yra dispersijos kvadratinė šaknis. Sukuria savo darbų aplanką dispersija pateikta iš kovariacijų turtu grįžta matricoje, kuri yra forma yra tokia koncepciją:
⎡σ12
⎢
Σ = ⎢σ21
⎢
⎢
⎢⎣σn1 σ12 σ22
σn2 σ1n ⎤
⎥
σ2n ⎥
⎥
σn2 ⎥⎥⎦
kur σi2 yra i-ojo turto grąžos dispersija, o σij yra turto i, j su i ≠ j kovariancija.
Remiantis portfelio našumu RP = w1R1 + w2 R2 +… + wN RN, gaunamas dispersija, žymima σP2.
N
wiwjσij
i = 1 i ≠ j
Portfelio dispersiją galima parodyti matricos pavidalu, o
⎡ w1 ⎤
⎢
is jis apibūdinamas vektoriu W = ⎢w2 ⎥, kuriame yra visi
aktyvaus
of ⎥ ⎢
⎥ ⎥wN ⎦ svoriai
Tada dispersija išreiškiama tokia kvadratine forma:
σP2 = W / ΣW
Nepastovumas yra tiesiog σP = W / Σ W ir taip pat seka laiko taisyklės šaknis T dienų laikotarpiui σP = TW / Σ W.
Portfelio grąžos ir rizikos pavyzdžiai. Norint iliustruoti šias idėjas, nagrinėjami du ištekliai S1 ir S2 su šiais duomenimis:
E = 0,15
E = 0,12 σ1 = 0,21⇒σ12 = 0,0441 σ2 = 0,17 ⇒σ22 = 0,0289 σ12 = 0,01785
w1 = 0,3
w2 = 0,7
Taigi portfelio grąža yra 12,9%
E = w1E + w2E = 0,3 * 0,15 + 0,7 * 0,12 = 0,129
o portfelio kintamumas yra 16,08%
σP2 = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2σ12 = (0,3) 2 (0,0441) + (0,7) 2 (0,0289) +2 (0,3) (0,7) (0,011785) = 0,025627 σP = 0,1608
Dabar tarkime, kad jūsų pradinė suma yra 1 000 000 CU, o S1 turtas yra parduotas per trumpai, o po operacijos gausite papildomą 300 000 CU, taigi dabar turite 1 300 000 CU, kurie yra investuoti į S2. Taigi turto S1 svoris yra w1 = −300000 = −0,3, kuris yra neigiamas, nes
1000000
ši priemonė buvo pasiskolinta ir gali būti vertinama kaip įsipareigojimas.
Turto S2 svoris yra w2 = 1 300 000 = 1,3, nes buvo deponuota pradinė
1 000 000
suma kartu su suma, gauta iš skolintų vertybinių popierių pardavimo.
Aišku, kad w1 + w2 = −0,3 + 1,3 = 1, ir daroma išvada, kad trumpas pardavimas reiškia neigiamą to turto svorį.
Su šiais naujais svoriais ar svoriais išeiga yra 11,1% E = w1E + w2E = −0,3 * 0,15 + 1,3 * 0,12 = 0,111, o standartinis nuokrypis yra 19,71%.
σP2 = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2σ12 = (- 0,3) 2 (0,0441) + (1,3) 2 (0,0289) + 2 (−0,3) (1,3) (0,01785) = 0,3888 σP = 0,1971
Iki šiol mažai dėmesio buvo skiriama rinkos turto kovariacijai, nes jis buvo paminėtas tik kaip formulės dalis, o ne kaip pagrindinis gero diversifikavimo veiksnys. Kovariancija ir koreliacija išmatuoja turto priklausomybę ir sudaro diversifikacijos pagrindą, todėl reikalingas šiek tiek išsamus tokių priklausomybės priemonių tyrimas.
Kovariancija. Su i, j∈ {1,2,…, N} tegul Si ir Sj yra dviejų aktyvų, kurių grąža yra Ri ir Rj, kainos. Turto kovariacija apibrėžiama kaip σij = E) (Rj - E)] ir turi vidinio produkto savybes, tačiau nurodomos dvi dominančios savybės:
1. σii = σi2
2. σij = σji taigi matrica Σ yra simetriška.
Kovariancijos ženklas ir jo negaliojimas pateikia informaciją apie turto Si ir Sj priklausomybę, kaip nurodyta:
• σij> 0 Tai reiškia, kad vidutiniškai, kai vienas turtas duoda didesnę ar mažesnę nei vidutinė grąžą, kitas bus linkęs į tą patį modelį. Kitaip tariant, Si lydi Sj, kai pastarasis vertina arba nuvertėja.
• σij <0 Tai reiškia, kad vidutiniškai, kai vieno turto pajamingumas yra mažesnis ar didesnis nei jo vidutinė vertė, kitas turtas kiekvienu atveju bus linkęs pakeisti.
• σij = 0 Šiuo atveju negalima nustatyti aiškaus turto ryšio.
T
∑ (Rit - E) (Rjt - E)
. T
T
stebėjimams kovariacijos įverčio reikšmė yra σˆij = t = 1, kur Rit yra i turto grąža t dieną.
Koreliacija. Kovariacija priklauso nuo atsitiktinio kintamojo dydžio, todėl pirmenybė teikiama standartizuotam matui. Toks priklausomybės matas randamas koreliacijoje, apibrėžtoje taip:
σij
ρij = papildomai −1≤ ρij ≤1 σiσj
Norėdami parodyti koreliacijos svarbą, apsvarstykite dviejų turto S1 ir S2 portfelį šiais duomenimis:
E = 0,12 E = 0,15
σ1 = 0,17 ⇒σ12
= 0,0289 σ2 = 0,21 ⇒22 = 0,0441
Portfelio dispersija yra σP2 = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2σ12, o iš lygybės σ12 = σ1σ2ρ12 gaunama nauja portfelio dispersijos formulė.
σP2 = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2σ1σ2ρ12
Jei turto svoriai ir koreliacija skiriasi, gaunamas toks grafikas:
6 paveikslas. Sumažinus koreliaciją, pasiekiama geresnė rizikos lygio grąža.
Pastebėta, kad mažėjant koreliacijai galima rasti geresnį rizikos lygio grąžą. Taigi pageidautina, kad portfeliai turėtų neigiamą ryšį su turtu.
Minėta, kad kovariacija turi vidinio produkto savybes ir tai daro koreliaciją tiesinės priklausomybės matu. Geometrinį koreliacijos aiškinimą galima pamatyti atliekant šias pertvarkas formulėje
σP2 = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2σ1σ2ρ12.
a = σP b = w1σ1 c = w2σ2
Taigi, naudojant kosinuso dėsnį trikampiui a, b, c, turime lygybę a2 = b2 + c2 - 2bccos (θ), iš kurios paaiškėja, kad cos (θ) = −ρ12 ir θ yra kampas tarp šonų b ir c.
Ekonominis aiškinimas yra tas, kad a pusė yra portfelio kintamumas ir kad ši pusė auga didėjant koreliacijai. Kai koreliacija yra nulinė, turime a2 = b2 + c2, kuri yra Pitagoro teorema, o portfelio kintamumas gali būti vertinamas kaip trikampio hipotenuzė.
Reikėtų paaiškinti, kad koreliacija yra tiesinės priklausomybės matas, todėl ji turi apribojimų, kai turtas turi netiesinį santykį, kaip siūloma šiame pavyzdyje:
Tegul V1 ~ U (-1,1) ir V2 = 1 - V12
Galima įrodyti, kad E = 0 ir E = 0 taip, kad σV1V2 = 0 ir mes turime atsitiktinių kintamųjų su nuline kovariancija, bet kurie yra susiję netiesiškai, nes V12 + V22 = 1.
Portfelio dispersija kaip svorio funkcija
Įtraukus stochastinio dominavimo apibrėžimus, iškilo poreikis pasiekti mažiausią riziką portfeliui, atsižvelgiant į numatomą grąžos lygį. Tuomet turite optimizavimo problemą, kurioje tikslinis kintamasis yra portfelio dispersija, ir jūs galite turėti daugybę apribojimų, pvz., Trumpalaikių pardavimų draudimą. Pirmasis žingsnis sprendžiant šią optimizavimo problemą yra dispersijos kaip turto svorio funkcijos tyrimas.
N
Portfelio dispersija yra ij, kad
i = 1 i ≠ j
matricos forma yra σP2 = W / ΣW, kur W yra svorių vektorius, o Σ yra dispersijų ir kovariacijų matrica.
Darant prielaidą, kad Σ įvestys yra pastovios, tada dispersija priklauso nuo turto
masės σP2 = f (w1, w2,…, wN).
Nuo šio momento pageidautina tolesnio abstrakcijos lygio, vidutinę grąžą ir turto svorį įvedant į vektorius, kaip parodyta žemiau, kartu su pagalbiniu vektoriu.
⎡ E ⎤ ⎡w1
⎤ ⎤1 ⎤E w 1
R = ⎢ ⎥ W = ⎢ ⎥ I =
⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎣
⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥
⎣ ⎦ ⎦ ⎦ N N N N N ⎣ 1
Atsižvelgiant į skirtingus strateginius ar teisinius reikalavimus, yra skirtingos optimizavimo problemos. Žemiau yra keletas iš jų.
minσP2 = W / ΣW
sa
W / R = EW / I = 1
Šia problema siekiama sumažinti riziką, atsirandančią dėl tam tikro eksploatavimo lygio ir apribojimo, kurį svoriai ar svoriai prideda prie vieneto.
minσP2 = W / ΣW
SA
W / R = EW / I = 1
Bevielis ≥ 0 ∀i
Esant šiai problemai, yra ir kitų N apribojimų, kai skolinimasis skolintomis prekėmis yra draudžiamas, nes, kaip žinoma, trumpas pardavimas reiškia neigiamą svorį. Reikia pažymėti, kad Markowitz portfelius su trumpalaikiais pardavimais padarė neteisėtais.
Bendresnė problema yra ta, kuri priverčia įtraukti svorius valdžios nustatytais intervalais, kaip tai daroma Meksikoje su SIEFORE portfeliais.
minσP2 = W / ΣW
SA
W / R = EW / I = 1
δi ≤ Bevielis ≤γi ∀i
Pirmąją problemą galima išspręsti naudojant diferencinio skaičiavimo koeficientus „Lagrange“, o šios problemos priklauso netiesinio programavimo sričiai.
Abiem atvejais objektyvios funkcijos ir rinkinio, kuris sukuria apribojimus, savybių tyrimas yra būtinas norint sukurti veiksmingą sieną.
Veiksmingas portfelis.
Išsprendus vieną iš aukščiau aprašytų optimizavimo problemų, buvo nustatytas efektyvus portfelis. Kitaip tariant, tam tikram veiklos rezultatų lygiui buvo gautas mažiausios rizikos portfelis.
Veiksminga siena. Kai tam tikra portfelių optimizavimo problema yra išspręsta visais įmanomais tikėtinos grąžos lygiais, sugeneruoti taškai sudaro veiksmingą sieną, jei jie turi ekonominę reikšmę.
Kad būtų paprasčiau suprasti kitas temas, pateikiamas problemos, kurioje leidžiama parduoti trumpą kainą, sprendimas. Norėdami tai padaryti, parodoma trumpa išgaubtumo analizės apžvalga ir šios idėjos yra pritaikytos esamai finansinei problemai.
Išgaubta analizė
Išgaubimas yra dažnas bruožas optimizuojant problemas. Efektyvios sienos sukūrimas be nerizikingo turto reiškia dviejų optimizavimo problemų sprendimą, pradedant tokių problemų sprendimais ir remiantis dviejų fondų teorema, kuri pateikiama vėliau, ir gaunamas bet koks efektyvus portfelis. Šios apibrėžtys ir rezultatai yra matematinis efektyvios sienos konstrukcijos pagrindimas.
Išgaubtas rinkinys. Aibė E ⊆ ℜN yra išgaubta, jei duota x, y∈E ⇒αx + (1 - α) y∈E su α∈.
Intuityviai tariant, išgaubtas rinkinys yra tas, kuriame, atsižvelgiant į du jo taškus, juos jungiantis segmentas yra jo poaibis.
Taškas αx + (1 - α) y∈E yra žinomas kaip išgaubtas derinys ir gali būti apibendrintas kaip α1 × 1 + α2 × 2 +,.., + αnxn ∈ E n elementams x1, x2,.., xn ∈. E ir
n n skalaidams α1, α2,.., αn ≥ 0 taip, kad ∑αi = 1.
i = 1
Kaip tokio tipo aibių pavyzdžius mes turime trikampius, tikrąją tiesę ir apskritai ℜN, bet taip yra (ℜ + ∪ {0}) N.
Išgaubta funkcija. Funkcija f: → n → ℜ, apibrėžta išgaubtoje aibėje E, yra išgaubta, jei x, y∈E ir α∈ atveju turime tokią nelygybę:
f (αx + (1 - α) y) ≤αf (x) + (1 - α) f (y)
Dvigubai diferencijuojamų funkcijų visame E rinkinyje atveju ši teorema pateikia alternatyvų išgaubtos funkcijos apibrėžimą, kuris šioms pastaboms keliamiems tikslams bus tinkamas.
Teorema. Tegul turi būti funkcija f: RN → R dvigubai diferencijuojama, apibrėžta išgaubtame rinkinyje. Ši funkcija yra išgaubta tada ir tik tada, kai ji turi apibrėžtą pusiau teigiamą H (x) Hesiano matricą.
N
pavyzdys. Portfelio dispersijos funkcija ij
i = 1 i ≠ j yra išgaubta.
Testas
∂σ 2
j ij wjσij ∂w
≠ ij = 1
ij
∂2σ2
P = 2σij
∂wj∂wi
Tai reiškia, kad pirmasis kvadratinės formos darinys σP2 = W / ΣW yra 2ΣW, o antrasis darinys yra 2Σ, kuris yra nei vienaskaitos matrica.
Taigi portfelio dispersijos Hessianas yra teigiama matrica, apibrėžta kaip dviguba kovariancijos matrica, taigi galima teigti, kad portfelio dispersija yra griežtai
išgaubtas.
⎡σ12
⎢
H = 2 * ⎢σ21
⎢
⎢
⎢⎣σn1 σ12 σ22
σn2 σ1n ⎤
⎥
σ2n ⎥
⎥
⎥
σn2 ⎥⎦
Teorema. (Unikalumas). Atsižvelgiant į šią optimizavimo problemą:
min f (x)
sa x ∈ E
Kur f: ℜn → ℜ yra griežtai išgaubta funkcija, o rinkinys E yra išgaubtas, tada optimizavimo problema turi daugiausiai minimumo.
Demonstracija.
Tarkime, kad a, b∈E yra du skirtingi sprendimai, tai yra, f (a) = f (b) ≤ f (x) ∀x ∈E, nes f yra išgaubtas, taigi f (αa + (1- α) b) <αf (a) + (1- α) f (b) = f (a) = f (b)! α∈ (0,1).
Prieštaravimas yra tame taške αa + (1- α) b∈ E, kad būtų reikšmė, mažesnė už minimumą.
Nuo šio momento siekiama sukurti efektyvią ribą ir tam naudojami Lagrange koeficientai, nes jau žinoma, kad portfelio dispersija turi unikalius minimumus.
Veiksminga siena
Kaip buvo įrodyta, portfelio dispersija yra griežtai išgaubta funkcija, todėl ją sumažinus nerasite techninių detalių su rastais sprendimais tol, kol apribojimai sudarys išgaubtą rinkinį.
minσP2 = W / ΣW
sa
W / R = EW / I = 1
Patogu pažymėti, kad σP2 minimizavimas yra lygus
1σP2 minimizavimui, todėl norint išspręsti šį paskutinį atvejį,
Lagrange funkcijoje laikomi du 2 skalės λ1 ir λ2.
L (w1,.., wN, λ1, λ2) = W / Σ W + λ1 (E − W / R) + λ2 (1 - W / I)
Kvadratinės formos išvestinė yra 2ΣW, taigi, išvesdami funkciją L jos argumentų atžvilgiu ir lygią nuliui, turime:
ΣW = λ1R + λ2 I
E = W / R1 = W / I
Pirmoji iš šių trijų lygčių parodo efektyviosios sienos bendrąją formą ir svarbią dviejų fondų teoremą.
ΣW = λ1R + λ2 I ⇒W = λ1Σ - 1R + λ2Σ - 1I
Įdomūs santykiai gaunami išsprendus optimizavimo problemą, o patogumui apibrėžtos šios sąvokos:
A = R / Σ - 1I
B = R / Σ - 1R
C = I / Σ - 1I D = BC - A2
Jei tirpalas padauginamas iš kairės pernešto derliaus vektoriaus ir vektoriaus I / tada mes turime
R / W = λ1R / Σ - 1R + λ2 R / Σ - 1I I / W = λ1I / Σ - 1R + λ2 I / Σ - 1I
Iš tikrųjų buvo gauta lygčių sistema, kurios sprendimai lemia geometrinį efektyviosios sienos aiškinimą.
Bλ1 + Aλ2 = E, kur λ1 = CE - A ir λ2 = B - AE.
Aλ1 + Cλ2 = 1 DD
Padauginę iš kairės su perkeltų svorių vektoriu į lygybę ΣW = λ1R + λ2 I, gauname portfelio dispersijos tapatumą.
W / ΣW = λ1W / R + λ2W / I
CE 2 - AE B - AE
σP2 = λ1E + λ2 = PP + P
DD
CE 2 2AE B
σP2 = P - P +
DDD
Ši paskutinė lygybė atitinka parabolę pusės dispersijos plokštumoje.. Minimali šios funkcijos reikšmė gaunama gaunant dispersijos, susijusios su vidutiniu veikimu, išvestinę.
g A
2 E =
dσP = 2 CE - A = 0 ⇒ C
dE D σPg2 = 1
C,
kur viršuje esantis g rodo, kad tai yra bendrasis mažiausio dispersijos portfelis.
Tas pats rezultatas gaunamas, atsižvelgiant į efektyvią sieną kaip hiperbolę standartinio nuokrypio-išeigos plokštumoje.
2 CE 2 2AED DB CD ⎜⎜⎛E 2 - 2 CA E + CA22 ⎟⎟⎞⎠ + C1 ⇔
σP = - + ⇔
D ⎝
⎛⎜E - A⎞⎟
2
σP ⎝ C ⎠
- = 1
1 D
CC 2
Visuotinis minimalaus dispersijos portfelis
Parabolės ir hiperbolės viršūnėse esantis portfelis yra mažiausiai rizikingas turtas, neatsižvelgiant į norimą grąžą.
Šio portfelio našumas, dispersija ir standartinis nuokrypis yra šie:
E g
σPg2 σPg
Svorio
vektorius šioje portfelyje bus žymimas kaip W gy, o tam nustatyti turime rasti Lagrange koeficientus, atitinkančius E g, ir jie yra:
1 Σ - 1I λ1g = 0 λ2g = ⇒W g = iš tirpalo W = λ1Σ - 1R + λ2Σ - 1I.
DC
Dviejų fondų teorema. Dviejų efektyvių portfelių svorio koeficientai gali būti nustatyti taip, kad iš tų dviejų pradinių portfelių būtų sukurtas bet koks efektyvus portfelis. Tai reiškia, kad efektyvią sieną galima sukurti iš dviejų fondų.
W = αW d + (1 - α) W g
Demonstracija.
Veiksmingi portfelio svoriai
W = λ1Σ - 1R + λ2Σ - 1I
-1 -1
sutaupyti W r = Σ R ir W g = Σ aš turime, kad W = λ1 AW d + λ2CW g į
AC , kad, kaip jau yra pastebimas λ1 A + λ2C = 1.
Padarius α = λ1 A ⇒ 1 - α = λ2C gaunamas norimas rezultatas, todėl bet kuris efektyvaus portfelio svorio vektorius yra
dviejų kitų efektyvių portfelių linijinis derinys. Investicinio portfelio technikos taikymas
Norint parodyti metodiką, buvo suprojektuotas trijų aktyvų portfelis ir taikomi ankstesniuose punktuose sukurti metodai.
Tarkime, ekonomika, turinti tris rizikingus aktyvus, kurių grąža ir kovariacijos matrica pateikiama žemiau:
E = 0,14 ⎡ 0,23 0,02 −0,10 ⎤ 9,71
E = 0,11 Σ = ⎢⎢ 0,02 0,15 0,10 ⎥⎥ ⇒Σ - 1 = ⎢⎢− 8,39
E = 0,13 ⎢⎣ - 0,10 0,10 0,17 ⎥⎦ ⎢⎣10,64
- 8,39 10,64 ⎤
⎥
18.22 -15,65
⎥
-15,65 21.35 ⎥⎦
pirmasis žingsnis yra nustatyti konstantas A, B, C ir D ir tada nustatyti vektorius W d ir W g.
A = ⎢⎢− 8,39
⎢⎣10,64 - 8,39 10,64 ⎤⎡1⎤ ⎥⎢
⎥
18,22 −15,65 1 = 3,1584
⎥⎢ ⎥ −15,65 21,35 ⎥⎦⎢⎣1⎥⎦
B = ⎢⎢− 8,39
⎢⎣10,64 - 8,39 10,64 ⎤⎡0,14⎤ ⎥⎢
⎥
18,22 −15,65 0,11 = 0,4829 ⎥⎢
⎥
−15,65 21,35 ⎥⎦⎢⎣0,13⎥⎦
C = ⎢⎢− 8,39 18,22
⎢⎣10,64 −15,65 10,64 ⎤⎡1⎤
⎥⎢
⎥⎢ −15,65 1 = 22,4796 ⎥⎢
⎥
21,35 ⎥⎦⎢⎣1⎥⎦
D = BC - A2 = 0,2053 ⎡
9,71 - 8,39 10,64 ⎤⎡0,14⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥ - 8,39 18,22 −15,65 0,11
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ 0,5761 ⎤
d ⎢⎣10,64 - 15,65 21,35 ⎥⎦⎢⎣ 0,133 ⎥⎦ ⎥
W = = −0,3816
A ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0,8055 ⎥⎦
⎡ 9,71-8,39
⎢
- 8.39 18.22
⎢
g ⎢⎣10.64 -15,65
W =
C
Stebėjimai:
10.64 ⎤⎡1⎤
⎥⎢ ⎥
-15,65 1
⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤ 0,5321
21,35 ⎥⎦⎢⎣1⎥⎦ ⎢ ⎥
= -0,2591
⎥ ⎢
⎢⎣ 0,7270 ⎥⎦
• W1G + w2g + w3g = 0,5321-0,2591 + 0,7270 = 1.
• turto 2 parduodamas trumpas ir pajamos iš šios operacijos yra siunčiami į 1 ir 3 turtą.
Minimali grąža ir minimalus dispersija, nepriklausomai nuo tikėtinos portfelio grąžos, yra:
σPg2 = ⎢⎢ 0,02
⎢⎣ - 0,10 0,02
0,15
0,10 −0,10 ⎤⎡
0,5321 ⎤ ⎥⎢ ⎥
0,10 −0,2591 = 0,0445
⎥⎢ ⎥
0,17 ⎥⎦⎢⎣ 0,7270 ⎥⎦
Pora (σPg, RPg) = (0,2110, 0,1405) yra pirmasis efektyvaus sienos taškas.
Taikant dviejų fondų teoremą, efektyvioji riba sudaroma iš šios tiesinės kombinacijos, kaip parodyta 7 paveiksle:
76 0,5761 ⎤ ⎡ 0,5321 ⎤
Wα = α⎢ - 0,3816⎥ + (1 - α) ⎢ - 0,2591⎥ α∈ℜ
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣ 0,8055 ⎥⎦ ⎢⎣ 0,7270 ⎥⎦
7 pavyzdys. Efektyvi riba yra hiperbolė nepastovumo-pajamingumo plokštumoje.
Laukiamas pelnas ir efektyvūs portfeliai
Norint žinoti, į kokį efektyvų pasienio portfelį reikia atsižvelgti investuojant, naudojamos tikėtino pelno abejingumo kreivės.
Tam tikros abejingumo kreivės ir efektyvios sienos sąsajos taškas bus tas, kurį individas stochastiškai dominuos kituose ir jis bus geriausias asmens pasirinkimas.
Taip numatomas naudingumas leidžia priimti sprendimus tarp efektyvių investicinių portfelių ir pirmoji šios medžiagos dalis yra pateisinama. Tas pats procesas vyksta statant kapitalo rinkos liniją sekančiose dalyse.
Darant prielaidą, kad Gauso grąžinimas leidžia asmenims atlikti skirtingas naudingumo funkcijas, taigi ir skirtingas liesties vietas su efektyvia siena. Ši situacija dar kartą turi didelę reikšmę pusiausvyros modeliuose, kaip bus vertinama kartu su CAPM.
8 pavyzdys. Portfelis pasirinktas atsižvelgiant į tam tikrą abejotinos tikėtino pelno kreivę.
Neapsaugoto turto įtraukimas
Iki šiol akcijomis buvo laikomas tik rizikingas turtas, tačiau gali būti įtrauktas toks nerizikingas turtas kaip vekselis, banko sąskaita ar „Cetes de México“.
Turtas, nerizikingas, žymimas S0, taigi dabar yra N + 1 priemonių. Šis nerizikingas turtas siūlo žinomą LR grąžą.
Įtraukus šį turtą, įdomu sužinoti, ar nėra veiksmingos sienos pokyčių, nes dabar galite sukurti portfelį su rizikingo turto portfeliu ir nerizikingu turtu.
Atsakymas į šį susirūpinimą gaunamas išsprendus naują optimizavimo problemą. Daroma papildoma prielaida, kad galite skolintis ir skolintis pagal nerizikingą palūkanų normą.
E - RL maxTan (θ) = σP
Norėdami nustatyti efektyvią ribą su rizikingu turtu ir nerizikinga norma, turime maksimaliai padidinti kampo, kurį sudaro linija, jungianti nerizikingą normą, ir bet kokio rizikingo turto portfelio tangentą.
N
∑wi (E - RL)
Tan (θ) = i = 1 ši išraiška gaunama wi
NN
∑∑wi wjσij
i = = 1 j 1 atžvilgiu
ir tada lygi nuliui.
NN
∑wi (E - RL) ∑wjσij
i = 1 j = 1
= 2 = 0 ⇒
∂wi σP
NN
∑wi (E - RL) ∑wjσij
i = 1 2 j = 1 = E - RL
σP
N
∑wi (E - RL) N ξ = i = 1 2 ⇒ ∑ξwjσij = E - RL ∀i
σP j = 1
Jei atlikta vj = ξwj, tada galima išreikšti sistemą, kuri lengvai išsprendžiama, kaip pastebėta.
12σ12 σ12
2
⎢σ21 σ2
⎢
⎢
σN1 σN2
σ1N ⎤⎡v1 ⎤ ⎡ E - RL
⎤ ⎥⎢ ⎥ σ σ2N ⎥⎢v2 ⎥ = ⎢ E - RL
⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎥⎢ ⎥ ⎢ N σN ⎥⎦⎣vN ⎦ ⎣ E - RL ⎦
Tačiau vertės, gautos tiriant šią sistemą, negali būti laikomos svoriais ar svoriais, todėl jos turi būti normalizuotos, norint gauti WM rinkos portfelio, kurio įvestys yra wiM = Nvi ⇒ N, svorius.
∑vi i = 1
i = 1
Iš šių procentų nustatomas kintamumas σM ir vidutinė rinkos E grąža, tada nustatoma kapitalo rinkos linija (LMC) kartu su nerizikinga norma. LMC nuolydis yra E - RL, o taško ir
σM
nuolydžio formos lygtis yra E = RL + E - RL σP. σM
Apatinė teorema
Visas kapitalo rinkos portfelis yra sudarytas iš linijinio rinkos portfelio ir nerizikingo turto derinio.
Demonstracija.
Šis rezultatas gaunamas išsprendus optimizavimo problemą naudojant Lagrange daugiklius.
minσP2 = W / ΣW
s ~.a. ~ kur W ~ = ⎡w0 ⎤ R ~ = ⎡⎢RL ⎥⎤ ~ I = ⎡⎢1⎤⎥
⎢
W / R = E ⎣W ⎦ ⎣ R ⎦ ⎣I⎣
W ~ / ~ I = 1
Remiantis šiais vektoriais, gaunamos šios lygybės:
ΣW = λ1R + λ2 I −λ2 −λ1RL = 0
Taikydami matematinius triukus, gauname, kad kiekvienas LML vektorius yra tokios formos
⎡1⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢ ⎥ ⎥ ⎢
W ~ = α⎢0⎥ + (1 - α) ⎢w1M α∈ℜ ⎥
⎢⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ M ⎥
⎣0⎦ ⎣wN ⎦
9 paveiksle parodytas 10% nerizikingos normos ir aukščiau aprašytų trijų aktyvų ekonomikos efektyvių pasienio portfelių derinys. Rezultatas yra kapitalo rinkos linija (LMC).
Darant prielaidą, kad trys turto ekonomika yra ta pati, pridedama 10% nerizikinga norma ir LML nustatomas kaip pastebėta.
⎡ 0,23 0,02 −0,10⎤⎡v1 ⎤
⎢ ⎥⎢ 2
0,02 0,15 0,10 v2
⎥ ⎢ ⎥⎢
- 0,10 0,10 0,17 ⎥⎦⎢⎣v3 ⎥⎦
.10,14 −0,10 ⎡v1 ⎤ 0,637 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ = 0,11−0,10 ⇒ v2 ⎥ = ⎢ - 0,6230⎥
⎢
⎥ ⎢0,13 −0,10⎥⎦ ⎢⎣v3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0,9098 ⎥⎦
Kaip matyti v1 + v2 + v3 = 0.6237 −0.6230 +0.9098 = 0.9105 ≠ 1, todėl normalizuojama gauti rinkos portfelio svorius ir taip išspręsti problemą.
w1M == 0,6850 w2M == −0,6842 ir w3M == 0,9992.
Remiantis šiais svoriais,
gaunamas rinkos efektyvumas E = 0,14 * 0,6850 +0,11 * (- 0,6842) + 0,13 * 0,9992 = 0,1505, o kintamumas σM = 0,2356. Kapitalo rinkos linija turi tokią lygtį RP = 0,10 + 0. σP.
9 pavyzdys. Nerizikingas turtas sukuria kapitalo rinkos liniją.
5 KAPITALO TURTO VERTINIMO MODELIS (CAPM)
Kapitalo turto vertinimo modeliu (nuo CAPM ir toliau) siekiama paaiškinti turto savybes atsižvelgiant į rinkos riziką atsižvelgiant į, be kitų prielaidų, kad ekonomikos investuotojai sudaro savo portfelius pagal šiuolaikinę portfelio teoriją ir kurie turi vienodus lūkesčius.
Diversifikacijos apribojimai.
Diversifikacija yra labai naudinga siekiant sumažinti investicinio portfelio riziką. Tačiau šis rizikos gydymo mechanizmas yra ribotas, kaip galima pastebėti sudarant šį portfelį: Tarkime, kad N rizikingo turto rinkinys yra toks, kad porose jų vidutinis kovariacinis koeficientas, kuris yra laikomas teigiamu, yra kiekvieno turto dispersija. tas pats visiems, o i-tojo turto svoris yra 1 = wi. Taigi šio portfelio dispersija yra
N
konstanta ties riba.
2 N ⎛ 1 ⎞ 2 2 1 1 ⎛ 1 ⎞ 2 N 2 2 σ 2 ⎛ 1 ⎞
σ N = ∑i = 1 ⎜⎝ N ⎟⎠ σ + 2∑i ≠ j NN cov m = ⎝⎜ N ⎟⎠ ∑ i = 1 σ + N 2 ∑i ≠ j cov m = N + ⎜⎝1 - N ⎠⎟ cov m
σ 2 ⎛ 1 ⎞
+ ⎜1 - ⎟ cov m = cov m
N ⎝ N ⎠
Tai reiškia, kad kuo didesnis turto skaičius, tuo portfelio dispersija mažėja, tačiau diversifikacija yra ribojama, kad rizika visada egzistuotų nepriklausomai nuo rizikingo turto portfelio turto skaičiaus. Šis pastebėjimas lemia šiuos rizikos apibrėžimus:
Diversifikuojama rizika.
Tai yra tas, kurį potencialiai atsisako diversifikacija, ir kyla iš specifinių stoties savybių. Svarbu pažymėti, kad rinkos portfelis yra kuo labiau diversifikuojamas, todėl likusi rizika sukelia sistemingą riziką.
Sisteminė rizika.
Tai yra tas, kurio diversifikavimo negalima panaikinti, nes jis atsiranda dėl veiksnių, turinčių įtakos visai ekonomikai, pavyzdžiui, politinių pokyčių.
10 iliustracija. Įvairios rizikos ir sisteminė rizika.
Tada visa arba specifinė priemonės rizika yra lygi diversifikuotos rizikos ir sisteminės rizikos visumai.
Bendra rizika = Diversifikuojama rizika + Sisteminė rizika.
Ekonomikoje, kurioje investuotojai naudoja diversifikaciją savo portfeliams formuoti, finansiniam turtui tereikia mokėti skirtumą už sistemingą riziką, nes diversifikacija buvo sumažinta.
CAPM susieja sistemingą finansinio turto rizikos premiją su rinkos portfelio premija tiesiniu ryšiu. Šio modelio apibendrinimas pateiktas arbitražo kainų teorijoje. Tolesniuose punktuose, be infliacijos, mokesčių, vartojimo ir vieno indekso modelio (MIU) traktavimo, kaip alternatyvos efektyviam sienos kūrimui, pateikiami du CAPM išvedimai.
CAPM prielaidos
• Investuotojai nusprendžia remdamiesi pusiau dispersijos kriterijumi su įprastai paskirstyta grąža.
• Investuotojai turi tą patį laiko horizontą.
• Investuotojai turi vienodus lūkesčius dėl turto grąžos, tai reiškia, kad jie mato tą pačią efektyvią sieną.
• Rinka yra efektyvi.
• Yra nerizikinga priemonė, pagal kurią investuotojai gali skolintis ir skolintis neribotas sumas. • Rinka yra tobula
Kai kurias iš šių prielaidų galima susilpninti, norint gauti CAPM pratęsimus, tačiau viena iš jų, kuri nurodo turto grąžos lūkesčių vienodumą, yra esminė, nes tai leidžia efektyvinti rinkos portfelį.
CAPM išvedimas
Apsvarstykite M kapitalo rinkos dalyvius. Tegul Xi yra pradinis i-ojo investuotojo turtas i = 1,2,…, M.
Ekonominė pusiausvyra pasiekiama, kai pasitenkinimo teikėjo pasiūla ir paklausa yra vienodi. CAPM yra pusiausvyros modelis, nes jame atsižvelgiama į šią situaciją. Šiame modelyje paklausa yra visų M investuotojams priklausančių portfelių svertinė suma, o pasiūla matoma rinkos portfelyje.
Paklausa
Tegul Wi yra i-ojo investuotojo
M portfelio svorio vektorius, tada W ~ D = X1 ∑i = 1 X iW ~ i yra
visos paklausos M svorio vektorius, kai X = ∑ X i.
i = 1
Remiantis lėšų teorema, turime, kad vektorius
M ⎡1⎡ M ⎡ ⎤ 0 , kad bendras poreikis yra W ~ D = i = 1
X0
⎢ ⎥ + I = 1
⎢⎥
⎢ ⎥
⎣ 0⎦
X w
⎢ 1 ⎥.
⎢ ⎥
⎢ M
⎥ NwN ⎦
MMM
∑ X iαi ⎢ ⎥ ∑ (1 - αi) X i ⎢ M
⎥ ∑ X iαi ∑ (1 - αi) X i ∑ X iαi
Taip pat i = 1 + i = 1 = 1 todėl, kai αD = i = 1, turime
XXX , kad bendro poreikio svorio vektorius priklauso LML.
WD vektoriui, norint gauti pirmojo „Lagrange“ daugiklio reikšmę, naudojamos šios lygybės.
ΣW D = λ1R + λ2 I
−λ2 −λ1RL = 0 Σ W
D = λ1 (R - RL I)
WD / Σ W D = λ1 (E - RL)
ΣW DR - RL I
=
D / D
W ΣW E - RL
Pasiūlymas
Visą pasiūlą pateikia WM rinkos portfelis.
Pusiausvyra
Pusiausvyra gaunama, kai WM = WD, taigi iš lygybės CAPM gaunamas visai ekonomikai.
MRW MR - RI
WD = WM ⇒ M / M = L
W Σ W E - RL ⎡β1 ⎤ RLRL ⎤ E ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ β β RE
⇔ ⎢ 2 ⎥ (E - RL) + ⎢ L ⎥ = ⎢ 2
⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥
N N N N N N ⎣ ⎣ ⎣ N N N
I-asis vektoriaus ΣWD įėjimas yra derlingumo Ri ir rinkos išeigos RM ir βi = cov (Ri2, RM) kovariacija.
σM
Beta ir programos
Turto beta yra sistemingas rizikos matas ir padeda parodyti akcijų jautrumą rinkos rizikai.
Jei turto beta vertė yra didesnė už vienetą, vidutiniškai to turto grąža parodys padidėjimą ar sumažėjimą daugiau nei proporcinga rinkos portfelio atžvilgiu.
Kai turto beta vertė yra mažesnė už vienetą, turto grąža bus vykdoma tokiu būdu, kuris yra mažiau nei proporcingas rinkos portfelio našumui.
Jei turtas turi beta vienetą, turto grąža bus vidutiniškai tokia pati kaip rinkos portfelio.
Norint įvertinti beta versiją, reikia atlikti rinkos portfelio efektyvumą. Pastarojo negalima tiksliai nustatyti, tačiau yra tarpinių kintamųjų, kurie leidžia jį modeliuoti. Minėti tarpiniai kintamieji yra akcijų indeksai, tokie kaip JAV S&P 500, o Meksikos atveju yra Meksikos vertybinių popierių biržos kainų ir kainų indeksas, į kurį įeina maždaug 35 akcijų grupė, ratifikuojama ar keičiama kiekvienais metais su svoriai, kurie realiu laiku skiriasi.
Gavus apytikslį rinkos portfelį, beta gali būti nustatomas pagal jo apibrėžimą arba taikant tiesinę regresiją, kurioje laikoma, kad turto savybės linijiškai priklauso nuo rinkos portfelio veiklos rezultatų..
CAPM suranda realaus gyvenimo programas, kad nustatytų įmonės kapitalo kainą. WACC (svertinė vidutinė kapitalo kaina) yra nuosavybės kainos ir finansinės skolos kapitalo sąnaudų svertinis vidurkis.
iš
WACC = Kd + Ke d + ed + e kur
Kd yra finansinės skolos kapitalo kaina Ke yra nuosavo kapitalo kaina
d yra finansinės skolos
rinkos vertė e yra įmonės nuosavo kapitalo rinkos vertė
Visų pirma, beta versija naudojama apskaičiuojant nuosavo kapitalo kainą Ke, kuri Meksikos atveju yra tokia forma:
Ke = RL + β (E-RL) * RVA + Rsm + RP
Kur
RL yra norma, pagal kurią 30 metų iždo vekseliai moka β, palyginti su „S&P 500“ indeksu.
E yra vidutinė „S&P 500
RVA“ grąža yra investicijos, esančios už JAV aplinkos ribų, koregavimas.
Rsm yra priemoka, į kurią reikia atsižvelgti Dėl
RP firmos dydžio tai yra Meksikos euroobligacijų šalies rizika
CAPM yra modelis, kuris pratęsia ir kritikuoja labai griežtas hipotezes, kuriomis jis naudojasi, nes, kaip buvo matyti iš nuosavo kapitalo kainos, reikia atlikti teorinio CAPM pakeitimus. Tačiau modelis vis dar galioja.
PRIEDAS
Normalus pasiskirstymas
Sakoma, kad atsitiktinis kintamasis X atitinka normalųjį pasiskirstymą atitinkamai su vietos ir masto parametrais µ ir σ, jei tankio funkcija yra tokia forma
(µ) 2
n
- ∞ <µ <∞ σ> 0
Kai X turi normalų pasiskirstymą su atitinkamais parametrais, jis žymimas kaip X ~ N (µ, σ).
Atlikus transformaciją Z = X μ, gaunama, kad Z ~ N (0,1) ir Z σ yra
žinomi kaip standartinis normalusis. Jei turime Z, tai X = σZ + µ transformacija lemia pradinį normalųjį X.
Patogumui kintamasis Z naudojamas rezultatams gauti iš bet kurio įprasto kintamojo X.
Teorema. Tegul Z ~ N (0,1). Taigi visi šio kintamojo momentai yra baigtiniai.
PD E <∞ ∀n∈ N
Demonstracija.
z22
E - z -ne− 2 dz ze dz
z2
Jei keičiamas kintamasis y =, gaunama tokia išraiška
2 , kurioje Γ žymi diapazono funkciją.
nn
E = 22 ∞∫ ir n2−1e - ydy = 2π2 Γ⎜⎛⎝ n2 + 1⎞⎟⎠ <∞
π 0
1 rezultatas. Jei n yra nelyginis, tada E = 0.
2
E ze dz = 0
z2
taip yra todėl, kad f (z) = zne− 2 yra nelyginė funkcija.
2 rezultatas. Jei n lygus, tada E = 1⋅3⋅5⋅… ⋅ (n −1)
n 2
E = −∫∞zeye - ydy = 2π2 Γ⎛⎜⎝n2 + 1⎞⎟⎠
2π
Indukcija k ∈ N taip, kad n = 2k įrodyta, kad
2 k Γ⎛⎜ k + 1 ⎞⎟ = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅… ⋅ (2k – 1) π ⎝ 2 ⎠
Gavus standartinio normaliojo lygio rezultatus, galima rasti ir kitų normaliųjų parametrų rezultatų.
Tegul mn = E ir X ~ N (µ, σ).
Jei atsimename, kad Z = X μ, tada mn = E = E⎡⎢ (X − nµ) n ⎥⎤. σ ⎣ σ ⎦
m3 ir m4 vertės yra svarbios, nes jos lemia bet kurio normalaus šališkumo ir kurtozės vertes.
Ypatingas atvejis n = 3
Rezultatui 1 m3 = 0 = E⎡⎢ (X −3µ) 3 ⎤⎥ ⇒ k3 = E = 0, todėl
⎣ σ ⎦ σ
turi kitą rezultatą:
3 rezultatas. Bet kurio normalaus atsitiktinio kintamojo poslinkis k3 yra lygus nuliui.
Ypatingas atvejis n = 4
Rezultatas 2 m4 = 3⋅1 = E⎡⎢ (X −4µ) 4 ⎤⎥ ⇒ k4 = E = 3, tai veda
⎣ σ ⎦ σ
į kitą svarbų rezultatą tiriant finansines laiko eilutes.
4 rezultatas. Bet kurio normalaus atsitiktinio kintamojo kurtozė yra lygi trims.
Iš lygybės X = σZ + µ mes turime tai, kad X n = (σZ + µ) ny, remiantis Niutono dvinariu.
(σZ + µ) n = ∑j = n0 C njσ n− j Z n− jµ j, kur C nj = (n −n! j)! j!
Tada turime tokį rezultatą:
Rezultatas 5. Normaliojo atsitiktinio kintamojo n-asis momentas yra vidurkio µ reikšmių ir standartinio nuokrypio σ funkcija. Kitaip tariant, bet kuris momentas, didesnis už bet kurio normalaus atsitiktinio kintamojo sekundę, priklauso tik nuo pirmųjų dviejų momentų.
PD E = f (µ, σ)
Demonstracija
n
Jei išraiška n – j Z n – jµj
j = 0 laikoma viltimi,
tada išraiškos tiesiškumas suteikia norimą rezultatą.
nn
E (n – jmn – jµ) = f (µ, σ)
j = 0 j = 0
Šis penktasis rezultatas yra būtinas derinant naudingumo ir našumo funkcijos idėjas, kurios paprastai yra platinamos.
RINKOS
Tobulas rinka
Kapitalo rinka yra tobula, kai yra šios sąlygos:
• Rinkoje nėra trinties; tai yra, nėra jokių operacijų išlaidų ar mokesčių, visas turtas yra puikiai dalijamas ir likvidus, ir nėra jokių teisinių apribojimų.
• Prekių ir akcijų rinkose vyrauja puiki konkurencija.
• Informaciją gauna visi asmenys ir ji yra nemokama.
• Asmenys yra racionalūs ir siekia maksimaliai padidinti savo tikėtiną naudą.
VEIKSMINGA RINKA
Veiksminga kapitalo rinka leidžia perduoti turtą, turint nedidelį turto praradimą, todėl jis yra integruotas į efektyvumo sąvoką Pareto prasme. Šio tipo rinka yra tada, kai joje parduodamo finansinio turto kainos atspindi visą turimą informaciją ir todėl yra teisingos kainos.
Yra trys efektyvumo formos:
1. Silpna efektyvumo forma. Tokiomis aplinkybėmis niekas negali uždirbti ypatingo pelno, vykdydamas investavimo strategijas, pagrįstas istorine informacija apie kainą. Kitaip tariant, kainos nuolaidą ankstesnei informacijai.
2. Pusiau stipri efektyvumo forma. Esant tokiai efektyvumo formai, nė vienas investuotojas negauna ypatingos grąžos pagal taisykles, sugeneruotas iš viešai prieinamos informacijos, todėl, kaip sakoma, kainos nuolaidą ta viešajai informacijai.
3. Stipri efektyvumo forma. Dėl tokio efektyvumo nė vienas asmuo negali uždirbti didesnės nei rinkos grąžos už bet kokią informaciją. Taigi kainos atspindi visą informaciją.
NUORODOS
- Kopelandas ir Vestonas. (1988). Finansų teorija ir įmonės politika. Addison Wesley Elton, Edwin J., Gruber Martin J. (1995). Šiuolaikinė portfelio teorija ir investavimo analizė. John Wiley & Sons, Heimanas, Timothy. (1998). Investicijos į globalizaciją. IMEF, Milenio, IMCP, ITAM ir BMV.
