BENDRIEJI DALYKO TIKSLAI: Baigęs kursą studentas turėtų mokėti:
- -Atpažinti matricas ir pateikti problemas matricos pavidalu. - Įgudus atlikti skirtingas galimas operacijas tarp matricų. Apskaičiuoti matricos determinantą, išaiškinti šią vertę ir tinkamai panaudoti jos savybes. skirtingi metodai. - Atlikite skirtingas operacijas dirbdami su vektoriais ir pritaikykite jų savybes sprendžiant įvairias konkrečias problemas.
1 TEMA: MEDŽIAGOS.
Adatinių yra stačiakampio formos masyvo skaičių išdėstyti m- eilių (horizontaliai) ir n stulpelių (vertikaliai) apskliaustas arba kvadrato skliausteliuose.
Labiausiai naudojamas žymėjimas yra A = kur i yra eilutės pozicijos numeris ir j stulpelio pozicijos numeris.
Masyvo dydis paprastai nurodomas rašant kaip indeksą „ mxn “
Kai m = n, tariama, kad matrica yra kvadratinė.
Pagrindinė įstrižainė: ji egzistuoja tik kvadratinėse matricose ir yra linija, kurią sudaro elementai a ij, kad i = j
Matricos pėdsakai: tai pagrindinės įstrižainės elementų suma.
Žemėlapis (A) = 11 + a 22 + a 33 +… + nn
MEDŽIAGŲ RŪŠYS
Eilučių matrica: Tai yra 1 x n eilės matrica.
Stulpelio matrica: tai yra mx 1 eilės matrica.
Null matrix: Tai yra matrica, kurios visi elementai yra „0“
Viršutinė trikampė matrica: Tai yra kvadratinė matrica, kurios elementai a ij = o, kai i> j
Apatinė trikampė matrica: Tai yra kvadratinė matrica, kurios elementai a ij = o, kai i
Įstrižinė matrica: Tai yra kvadratinė matrica, kurios elementai a ij = o, kai i ≠ j
Skaliarinė matrica: Tai įstrižinė matrica, kurios elementai a ij = k (k ≠ 0), kai i = j
Tapatybės matrica: Tai įstrižinė matrica, kurios elementai a ij = 1, kai i = j
Simetrinė matrica: Tai yra kvadratinė matrica, kurioje ij = a ji i ≠ j
Antisimetrinė matrica: Tai yra kvadratinė matrica, kurioje ij = - ji už i ≠ j ir a ij = 0, jei i = j
OPERACIJOS SU MEDŽIAGOMIS
Priešinga matrica: Tegul A = jos priešingybė yra - A = - =
Perkelta matrica: Tegul mxn eilės A = jos perkėlimas gaunamas prailginant eilutes su stulpeliais ir žymint A ' arba A t = ir jos eilė yra nxm
Matricų suma: Tegul matricos yra A = ir B = jų suma gaunama sudėjus
„Elementas pagal elementą“ A + B = y yra tokio paties dydžio.
Pastaba: Galima pridėti tik to paties dydžio matricas.
Padauginimas iš skaliarų: Matricos A = sandauga „k“ sandauga gaunama padauginus kiekvieną matricos elementą iš minėto skaliarinio k · A =
Pastaba: Matricos darbe įprasta kviesti nepriklausomus skaitmeninius dydžius masteliu.
Matricos daugyba: Dviejų matricų sandauga įmanoma tik tada, kai antrosios matricos eilučių skaičius yra lygus stulpelių skaičiui pirmoje.
Tegul matricos A = mx p ir B = p xn yra sandauga, nes eilučių skaičius B yra p ir yra lygus stulpelių skaičiui A. Gauta C matrica yra eilės mxn C = A · B = mxn o jo elementai gaunami padauginus A eilutės elementus iš atitinkamų B stulpelių elementų ir sudėjus šiuos produktus.
Tiesinės kombinacijos: Sakoma, kad matricos eilutė yra linijinė kitų kombinacija, jei yra tikrieji skaičiai k 1; k 2; k 3;…; k n toks, kad duota eilutė yra kiekvieno realaus skaičiaus ir kiekvienos kitos eilutės matricoje sandauga.
Operacijos tarp masyvo eilių:
Tarp matricos eilučių galima atlikti šias operacijas nenutraukiant gautos matricos ekvivalento pradinei matricai.
- Paverskite dvi matricos eilutes Padauginkite eilutę iš tikrojo skaičiaus be nulio. Pridėkite arba atimkite iš eilės tiesinį vienos ar kelių kitų matricos eilučių derinį.
Matricos atvirkštinė dalis:
Dirbant su realiaisiais skaičiais, skaičiaus „ a “ padalijimas iš skaičiaus „ b “ gali būti pakeistas „ a “ sandauga atvirkštine „ b “.
Nebuvo apibrėžtas metodas, pagal kurį matricos būtų dalijamos tiesiogiai, tačiau jei galime rasti atvirkštinę matricą matricai, tuomet galime apibrėžti (įmanomais atvejais) matricos A pasiskirstymą tarp matricos B, kaip A sandaugą, gaunamą iš matricos B. -1 kur
B -1 yra atvirkštinė B matrica.
Vienas iš dažniausiai naudojamų metodų matricos atvirkštinėms vertėms nustatyti yra Gauso-Jordanio metodas, kurį sudaro tapatybės matricos, atitinkančios duotosios matricos kraštą, žymėjimas, tada transformacijų atlikimas abiejų matricų eilutėse, kol paversta duotą matricą tapatybe., tada matrica, gauta atlikus tapatybės transformacijas, bus atvirkštinė pradinei matricai.
Matricinės aritmetinės savybės:
Darant prielaidą, kad matricos yra tokios dydžio, kad būtų galima atlikti nurodytas operacijas:
2 TAME: NUSTATYTOJAI.
Ankstesniais tyrimais buvo dirbo su reares nekilnojamojo kintamųjų funkcijų, tokių kaip f (x) = 3x - 2 yra funkcija, kad realusis skaičius x sieja tikroji vertė f (x). Determinantas yra funkcija, susiejanti tikrąjį skaičių su matricos kintamuoju ir apibrėžta kaip det (A).
- Pirmos eilės matricos (sudarytos iš realaus skaičiaus) determinantas yra pats realusis skaičius. Antrosios eilės matricos determinantas yra pagrindinės įstrižainės sandauga, atėmus antrinės įstrižainės sandaugą.
Determinantas, kaip tikrasis skaičius, susietas su matrica, turi šias savybes:
- Jei matricoje A yra eilutė arba stulpelis, kurių visi elementai yra „0“, tada det (A) = 0 Jei matricoje A yra dvi vienodos eilutės, det (A) = 0 Jei A yra kvadratinė matrica, det (A t) = det (A) Jei A yra trikampė matrica, det (A) = a 11 ٠a 22 ٠a 33 ٠… ٠ nn nn Jei matrica B yra rezultatas, pridedant prie matricos A eilutės kitos eilės kartotinį, det (A) A) = det (B) Jei B yra dviejų eilių apsikeitimo matricoje A rezultatas, det (A) = - det (B) Jei matrica B yra rezultatas padauginus matricos A eilę iš skalės k tada det (B) = k٠det (A) Jei A ir B yra vienodo dydžio matricos, det (A٠B) = det (A) ٠det (B) det (A + B) ≠ det (A) + det (B)
Pastaba: jei matrica A yra nekeičiama det (A) ≠ 0
„N“ eilės veiksnių įvertinimo metodai.
- Mažinant (atliekant elementarius veiksmus tarp eilučių).
Šis metodas susideda iš matricos pavertimo trikampiu matrica, atliekant operacijas eilutėse ir atsižvelgiant į determinantų savybes, determinantas gaunamas iš gautos matricos determinanto.
- Kuriant kofaktorius eilutėse ar stulpeliuose (Cramerio taisyklė).
Norint paaiškinti šį metodą, pirmiausia reikia, kad jis būtų nepilnametis ir kad tai yra kofaktorius ar papildymas.
N eilės matricos determinantas yra eilutės ar stulpelio elementų sandaugų, gautų iš jų atitinkamo kofaktoriaus, suma.
Matricos inversija naudojant determinantą:
Suteiktas akimirkos matricoje, tai vadinama , prisijungimas matrica A, ir matrica yra atstovaujama Adja, į matricą, kuri yra gauta pakeičiant kiekvieną A elementą prie atitinkamo kofaktorius. Tada atvirkštinę A vertę galima apskaičiuoti pagal šią formulę:
3 VIENETAS: Linijinių ekvivalentų sistemos.
Tiesinė lygtis: Linijinė yra lygybė, kai yra vienas ar daugiau nežinomų ar nežinomų dydžių.
Lygties sprendimas yra nežinomų asmenų, kuriems taikoma lygybė, vertės ar reikšmių suradimas.
Kai tiesinėje lygtyje yra tik vienas nežinomasis, tada ji turi tik vieną sprendimą ir ji išsprendžiama sprendžiant nežinomą ar kintamąjį.
Kai tiesinėje lygtyje yra daugiau nei viena nežinoma, tada ji turi daug sprendimų (daugeliu atvejų begalinė), nes, sprendžiant vieną kintamąjį, jis išlieka kito funkcija. Norint tai išspręsti, reikia priskirti parametro reikšmę kintamajam, tada kiti kintamieji yra pagrįsti priskirtu parametru.
Linijinių lygčių sistemos: Tai vadinama tuo atveju, kai jose yra daugiau nei viena lygtis su daugiau nei viena nežinoma, tokiu atveju galima pateikti tris galimus sprendimus:
- Kad sistema turi vieną sprendimą (suderinamą ir apibrėžtą), kad sistemoje yra daugiau nei vienas sprendimas (suderinamas neapibrėžtas), kad sistema neturi sprendimo (nesuderinama)
Kadangi tiesinė lygtis žymi tiesę, sprendimai gali būti aiškinami taip:
- Suderinamas ir nenusakomas (kerta linijas) Suderinamas neapibrėžtas (lygiavertės ar sutapusios linijos) Nesuderinamas (lygiagrečios tiesės) a) b) c)
Yra keletas metodų, kaip išspręsti 2 arba 3 lygčių linijinių lygčių sistemas su 2 arba 3 nežinomaisiais. Šiame kurse nebus mokomi tie, kurie buvo išmokti ankstesniuose dalykuose, išskyrus Cramerio metodą, kuris bus išplėstas į n-lygčių su n-nežinomaisiais sistemas.
Bendrąja forma gali būti parašyta m lygčių su ninkognito linijinių lygčių sistema (SEL):
Kadangi šiame kurse nagrinėsime matricų ir determinantų naudojimą sprendžiant SEL, pažiūrėkime toliau pateiktą pavyzdį į du būdus, kaip rašyti SEL su matricos vaizdavimu.
x 1 + x 2 + 2 x 3 = 8 - x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 = 1 3 x 1 - 7 x 2 + 4 x 3 = 11
Sprendimo metodai:
- Gauso metodas.
Gauso metodą sudaro pailginta lygčių sistemos matricos konvertavimas į pakopinę (matricos koeficientų dalies pavertimas trikampiu).
- Gauso-Jordano metodas.
Gauso-Jordano metodas susideda iš pailgintos lygčių sistemos matricos pavertimo masteliu ir redukuota matrica (matricos koeficientų dalies pavertimą tapatumu).
- Cramerio metodas.
Ankstesniuose kursuose ištirtas metodas yra taikomas n lygčių su n nežinomaisiais SEL.
- Atvirkštinis metodas.
Jis susideda iš raštu SEL forma A0X = B ir tada sprendžiant dėl X = A -1 0B taikant matricos dauginimąsi.
Homogeninės tiesinių lygčių sistemos:
Kai SEL visi nepriklausomi terminai yra „0“, sakoma, kad sistema yra vienalytė ir gali turėti:
- Vienas sprendimas, kuris yra S = (0; 0;…; 0) (Trivialus tirpalas) Infinite nietrywialne sprendimai Be to į tirpalą
Paprastai juos išsprendžia Gaussas - Jordanija.
2 TEMA: VEKTORIAI
VEKTORIAI:
Fiziniu laipsniu vadiname tą kūno savybę, kurią galima išmatuoti. Masė, ilgis, greitis arba temperatūra yra fiziniai dydžiai. Kvapas ar užuojauta, nes jų neįmanoma išmatuoti, nėra fiziniai dydžiai.
Daugybei fizinių kiekių pakanka nurodyti jų vertę, kad jie būtų tiksliai apibrėžti. Pavyzdžiui, jei sakome, kad José Antonio temperatūra yra 38 ºC, mes puikiai žinome, kad jis karščiuoja. Jei Rosa yra 165 cm ūgio ir jos masė 35 kg, akivaizdu, kad ji yra ypač plona. Kai dydis apibūdinamas pagal jo vertę, jis vadinamas skaliniu dydžiu .
Kiti dydžiai ir jų skaitinė vertė nepateikia mums visos informacijos. Jei jie mums pasakytų, kad Pedrol skriejo 20 km / h greičiu, vargu ar žinome daugiau nei pradžioje. Jie taip pat turėtų mums pasakyti, iš kur jis bėga ir kur eina.
Šie dydžiai, kuriems, be jų vertės, reikalinga kryptis, vadinami vektorių dydžiais ir yra vaizduojami vektoriais. Šioje temoje nagrinėsime vektorius ir jų savybes.
Vektorių galime laikyti linijos segmentu, kurio rodyklė yra viena iš jo galų. Tokiu būdu jį galime atskirti pagal keturias pagrindines dalis: taikymo taškas, modulis (norma arba intensyvumas), kryptis ir prasmė. Jei du vektoriai skiriasi bet kuriuo iš pastarųjų trijų elementų (intensyvumo, krypties ar prasmės), mes juos laikysime skirtingais.
o jei jie skirsis tik taikymo prasme, mes juos laikysime lygiais.
Visada galima nubrėžti du vektorius ta pačia, bet priešinga kryptimi. Jei jie taip pat turi tą patį intensyvumą, sakome, kad jie yra priešingi vektoriai, nes jie panaikintų vienas kitą.
Mes jau žinome, kaip galime atvaizduoti vektorių kiekius. Bet jei norime dirbti su vektoriais, negalime susitaikyti su grafiniu jų vaizdavimu, turime mokėti juos išreikšti skaitmenimis, kad galėtume patogiau dirbti ir galėtume juos geriau ištirti.
Bet kurį vektorių galima nubrėžti plokštumoje, jei mes jį išdėstome taip, kad jo taikymo taškas sutampa su koordinačių kilme, vektoriaus pabaiga, tada jis sutaps su tašku plokštumoje, tašku (x, y).
Bet kuris taškas (x, y) lemia vektorių, kuris prasideda nuo koordinačių pradžios ir baigiasi pačiame taške. Analitiškai vektorių pavaizduosime tašku, kuris lemia jo pabaigą. Mes vadinsime vektoriaus komponentų koordinatėmis , ir kiekvienas vektorius bus apibrėžtas dviem komponentais, vienas x ir kitas y, kurie bus vektoriaus Dekarto komponentai.
Be Dekarto koordinačių, yra dar vienas būdas skaitmeniniu būdu nustatyti vektorių: nurodant jo intensyvumą ir kampą, kurį jis sukuria su abscisės ašimi. Tai (modulis ir kampas) yra vektoriaus polinės koordinatės. Daugeliu atvejų patogiau dirbti su polinėmis koordinatėmis nei su Dekarto koordinatėmis.
Žinodami vektoriaus polines koordinates, nedelsdami nustatykite jo Dekarto koordinates, naudodami trigonometriją.
SEKTORIAI IR MEDŽIAGOS:
Vektorius gali būti vaizduojamas kaip eilutės matrica arba stulpelio matrica, tuo pačiu būdu matricos eilutės ir stulpeliai gali būti laikomi vektoriais.
Vektorinės operacijos:
Suma: pridėjus vektorių, pridedami vektoriai ir gaunamas vektorius. Ši operacija gali būti atliekama tiek grafiškai (kaip buvo tiriama ankstesniuose kursuose), tiek analitiškai.
Pastaba: Šio kurso tikslas yra daugiau dirbti paskutiniu būdu.
Norint analitiniu būdu pridėti du ar daugiau vektorių, pirmiausia reikia juos išreikšti Dekarto koordinatėmis, o po to jie pridedami kaip eilutės matricos (kiekvienam komponentui). Galima pridėti tik vienodo dydžio vektorius.
Kaip ir bet kuri operacija, vektorių pridėjimas turi keletą savybių, kurios palengvina atlikimą:
| Komutacinis turtas | v + w = w + v |
| Asociacinis turtas | (v + w) + u = w + (v + u) |
| Neutralus elementas | v + 0 = v |
| Priešingas elementas | v + (-v) = 0 |
Padauginimas iš skaliarų: Vektorius gali būti padaugintas iš skaliarų ir tokiu atveju kiekvienas vektoriaus komponentas padauginamas iš skaliarinio.
Grafiškai tai reiškia padauginti vektoriaus modulį:
Padauginimas iš skaliarų taip pat turi tam tikrų savybių: Tegul U; V; W vektoriai ir k; l skalarai:
Asociatyvusis K٠ (l٠U) = (k٠l) ٠U
Paskirstomasis k٠ (U + V) = k٠U + K٠V
(k + l) ٠V = k٠V + l٠V
1 neutralus elementas ٠W = W
VEKTORIAUS VIETA
Esame įpratę linijos tašką pavaizduoti kaip tikrąjį skaičių; taškas plokštumoje kaip užsakyta pora ir taškas trimatėje erdvėje kaip užsakytas trigubas ar trio. Bet jei pripažintume užsakytų skaičių aibę (a 1; a 2; a 3; a 4) kaip tašką keturių matmenų erdvėje, net jei šios idėjos negalima geometriškai suvokti už trijų dimensijų erdvės ribų, ją suprasti yra įmanoma, atsižvelgiant į savybes. skaičių, o ne geometrinių savybių analizė.
Vektoriaus erdvė yra bet nelabai daug rinkinys n-vektorių rūšiuojami atitinkančius savybes arti ir aukščiau sumos ir į Daugyba masto r. Jis žymimas Rn ir klasifikuojamas taip:
R 1 = vienmatė erdvė, tikroji tiesė.
R 2 = dvimatė erdvė, išdėstytos poros.
R 3 = trimatė erdvė, užsakyti trigubai.
R n = n-matmenų erdvė, užsakyta n-adas.
Uždarymo savybė: ji apibrėžia, kad, valdant du rinkinio elementus, rezultatas turi priklausyti rinkiniui, kuriam priskirta operacija.
Tegul U; V; W vektoriai, priklausantys Rn ir k; l skalarai:
Uždarymo savybė sumai V + W Є R n
Komutacinė savybė v + w = w + v
Asociacinė savybė (v + w) + u = w + (v + u)
Neutralus elementas v + 0 = v
Priešais esantis elementas v + (-v) = 0
Uždarymo savybė dauginti skalariu k٠W Є R n
Asociatyvusis K٠ (l٠U) = (k٠l) ٠U
Paskirstomasis k٠ (U + V) = k٠U + K٠V
(k + l) ٠V = k٠V + l٠V
Neutralus elementas 1 0W = W
Skaliarinis produktas : skaliarinis produktas; (taškinis produktas arba vidinis Euklido sandauga) yra vektorių apibrėžtas daugybos tipas, kuris yra labai naudingas pritaikant realias problemas, nes operacijai tarp vektorių priskiria tikrąją vertę ir yra apibūdinamas taip:
Jis taip pat apibūdinamas pagal jo dekarto komponentus.
uv ⋅ = u 1 ⋅ v 1 + u 2 ⋅ v 2
Panašiai jis pratęstas ir vektorinei erdvei R n.
Kryžminis vektorių produktas: Tai vektorių erdvei R 3 nustatytas dauginimo būdas, plačiai naudojamas sprendžiant problemas, kuriose būtina apibrėžti vektorių, statmeną (statmeną) kitiems dviem vektoriams.
Sakykim: V = (V 1; prieš 2; prieš 3) ir u = (u 1; u 2; u 3) vektoriai, priklausanti R 3
Produktas vxu yra vektorius, priklausantis R 3 ir statmenas „v“ ir „u“, jo prasmę galima nustatyti naudojant dešinės rankos taisyklę:
Jis nustatomas formuojant matricą, kurios pirmoji eilutė yra pirmojo vektoriaus komponentai, o antroji eilutė yra antrojo vektoriaus komponentai, tada kiekvienas gauto vektoriaus komponentas yra matricos determinantas, kuris gaunamas slopinant matricoje suformuotą stulpelį, atitinkantį komponentas, kurio ieškote, pakeisdamas antro komponento ženklą:
Kai kurios vektorių programos:
Kampas θ suformuota iš dviejų vektorių gali būti apskaičiuojamas derinant skaliarinį produkto formules, šia išraiška:
Atstumas tarp dviejų taškų gali būti nustatoma naudojant į vektorių v = x modulio formulę 2 + y 2 atsižvelgiant į vektorių, kad sujungiančią į p punktą 1 (x 1; Y 1; Z 1) su taškas P 2 (x 2; y 2; z 2) kaip skirtumas tarp vektorių OP 2 - OP 1
Lygiagretainio plotas, kurio ne-lygiagrečios briaunos yra laikomi Vektorius R 3 V (v 1; prieš 2; prieš 3) ir u (u 1; u 2; u 3) gali būti apskaičiuota kaip nuo kryžiaus produkto tarp abiejų vektorių modulio o trikampio plotas pusiau.
Linijinis derinys: Vektorius „v“ yra linijinis vektorių v 1, v 2, v 3,…, v n derinys vektorių erdvėje R n, jei yra realieji skaičiai k 1, k 2,… k n tokia, kad "v" gali būti išreikšta taip:
V = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 +… + k n v n
Norėdami patikrinti, ar vektorius „x“ yra tiesinis v, u, w є R 3 derinys:
Siūloma homogeninė linijinių lygčių sistema:
k 1 v + k 2 u + k 3 w = x
k 1 (v 1; v 2; v 3) + k 2 (u 1; u 2; u 3) + k3 (w 1; w 2; w 3) = (x 1; x 2; x 3)
k 1 ٠v 1 + k 2 ٠u 1 + k 3 ٠w 1 = x 1 k 1 ٠v 2 + k 2 ٠u 2 + k 3 ٠w 2 = x 2 k 1 ٠v 3 + k 2 3u 3 + k 3 ٠w 3 = x 3
Jei sistema turi sprendimą, vektorius x yra linijinis v, u, w derinys.
Linijinė priklausomybė ir nepriklausomybė: Sakoma, kad vektoriai v 1, v 2, v 3,…, v n yra linijiškai priklausomi, jei yra begalinis šių vektorių derinys, kuris lemia vektorių 0.
Jei vienintelis tiesinis derinys, duodantis šį rezultatą, yra tas, kuriame k 1 = k 2 =… = k n, tada vektoriai yra linijiškai nepriklausomi.
0 = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 +… + k n v n
Pavyzdys: Norėdami patikrinti tiesinę priklausomybę tarp vektorių v, u, w є R 3:
Siūloma homogeninė linijinių lygčių sistema:
k 1 v + k 2 u + k 3 w = 0 k 1 (v 1; v 2; v 3) + k 2 (u 1; u 2; u 3) + k3 (w 1; w 2; w 3) = (0; 0; 0)
k 1 ٠v 1 + k 2 ٠u 1 + k 3 ٠w 1 = 0 k 1 ٠v 2 + k 2 ٠u 2 + k 3 ٠w 2 = 0 k 1 ٠v 3 + k 2 3u 3 + k 3 ٠w 3 = 0
Jei šioje sistemoje yra tik trivialus sprendimas, vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi. Jei turite begalę sprendimų, tada jie yra tiesiškai priklausomi.
Sugeneruota vektorinė erdvė: Sakoma, kad vektoriai v 1, v 2, v 3,…, v n sukuria vektorinę erdvę V, jei bet kuris minėtos erdvės vektorius „b“ gali būti parašytas kaip duotų vektorių derinys.
b = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 +… + k n v n
Bazė ir vektorinės erdvės matmenys: Laisvųjų vektorių sistema, leidžianti generuoti visus jos vektorinės erdvės vektorius, yra bazė.
Kiekvienoje vektoriaus erdvėje yra bent viena bazė.
Vektorių sistemos bazės elementų skaičius vadinamas vektoriaus erdvės matmeniu.
Pvz.: Vektoriai (0,0,1), (0,1,0) ir (1,0,0) yra pagrindas, kuris paprastai naudojamas trimatėje erdvėje.
Linijinės transformacijos
Tiesinė transformacija yra vektoriaus kintamojo w = f (v) vektorinė funkcija .
Kur: → Vektorinė erdvė „v“ yra nepriklausomas kintamasis
→ Vektorinė erdvė „w“ yra priklausomas kintamasis
Jei V ir W yra vektorinės erdvės, o F yra funkcija, susiejanti unikalų vektorių W kiekvienam V vektoriui, tada sakoma, kad F taiko V V ir yra parašytas: F: V → W
Be to, jei rašome w = f (v), sakome, kad w yra v vaizdas pagal f.
Apibrėžimas. Linijinės transformacijos apibrėžimas sako, kad kiekviena vektoriaus erdvė V ir W gali būti padaryta tiesine transformacija, jei jos įvykdo pasiskirstymo aksiomas pagal sumą T (u + v) = T (u) + T (v) ir padaugina iš skaliarinis T (k ٠ u) = k ٠ T (u). Vykdydamas tai, kas išdėstyta aukščiau, linijinė transformacija turi šias savybes:
- T (0) = 0T (-v) = - T (v) T (vu) = T (v) -T (u)
